Релея-Ритца

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Аштон и Ваддоупс [17 ] решили методом Релея — Ритца задачу устойчивости прямоугольной пластины с произвольной схемой расположения слоев при одноосном и двухосном сжатии, а также сдвиге в плоскости пластины. Полученные ими решения достаточно хорошо совпали с результатами эксперимента при одноосном сжатии пластин, защемленных по всем сторонам, пластин, защемленных по двум сторонам и шарнирно опертых по двум другим сторонам [15 [, сдвиге пластин, защемленных по всем сторонам [16], а также при одноосном сжатии пластин с линейно изменяющейся толщиной. [c.184]

Наряду с дифференциальным может быть реализован (точно или приближенно, как в методе Галеркина) энергетический подход к решению задачи (метод Релея — Ритца). При этом используется выражение для потенциальной энергии, записанное через напряжения и деформации, ft/2 [c.223]

Эту подстановку использовали Муштари и Саченков при решении задачи устойчивости методом Галеркина, она также с успехом была применена для расчета ортотропных усеченных конических оболочек энергетическим методом Релея — Ритца [23]. [c.230]

При значительном изменении толщины диска по радиусу и необходимости учета влияния ступицы обода, лопаток и бандажа для вычисления частот свободных колебаний диска применяют обычно приближенный метод Релея — Ритца, который изложен в 8. [c.10]

Известно несколько методов, позволяющих определить частоту р по формуле (28), причем отличаются они между собой главным образом способом определения кривой формы колебания диска. Чем меньше отличается выбранная кривая от действительной, тем точнее результат. Принцип применяемых в этом случае методов Релея, Ритца и последовательного приближения изложен в первом томе [33]. [c.15]

Приведенный алгоритм основан на методе Релея-Ритца. Его иде заключается в том, что бесконечномерная задача заменяется п-мерной, то есть введением п пробных функций v= V ,v= V ,..., о = V. В классе всевозможных линейных комбинаций +. .. + вычисляется такая частная комбинация w = u V +. .. + + uV, которая минимизирует П(У). [c.22]

Первый факт объясняется тем, что отброшенные формы колебаний представляют o6ofi остаточную податливость системы. Второе обусловлено тем, что при учете большего числа фор.м лучше аппроксимируются перемещения конструкции (принцип Релея-Ритца) и, как следствие, мы получаем лучшее приближение для минимума полной потенциальной энергии системы. [c.446]

Потеря устойчивости 29 по Эйлеру 32 с перескоком 33 Предел прочности 392 текучести 219, 392, 432 Причины вырожденности матрицы 518 Примитивы 167 Принцип возможных работ 22 Релея-Ритца 446 Проблема собственных значений 47 Прогиб остаточный 398 Проектирование конструкции 474 Пропорциональное нагружение 219 Пространство переменных 480 Пружина тарельчатая 378 Положительная определенность 516 [c.540]

Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные приближенные подходы вариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина. и др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинированные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота [c.205]

Эта задача может быть решена по схеме, описанной в п. 2 данной главы. Для других случаев краевых условий необходимо использовать приближенные или численные методы. Г ри решении задачи методом Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина и др. в качестве аппроксимирующих могут быть использованы балочные функции (см. гл. X). [c.229]

Для определения Zi согласно методу Релея-Ритца имеем уравнения, [c.101]

Для первой частоты со j используется формула Релея-Ритца [c.101]

Известно много методов приближения функций метод равномерного приближения, метод наименьшего квадратического уклонения, метод коллокации и т.д. Однако большинство из них обладает значительными недостатками, затрудняющими их применение. Наибольшее распространение в задачах устойчивости получили методы Бубнова, Релея — Ритца, Тимошенко. [c.79]

Метод Релея — Ритца. Этот метод был предложен Релеем [c.80]

Метод Тимошенко. Модификацию метода Релея — Ритца, основанную на непосредственном применении теоремы Дирихле, предложил С. П. Тимошенко [6.21] (1910). Для приближения функции используется уравнение 6 11 = 0, которое приводит к зависимости N = jV( j-) нагрузки N от параметров Сь Из условия минимума нагрузки [c.81]

Эффективность методов Релея — Ритца и Тимошенко во многом зависит от удачного выбора аппроксимирующих функций. Точность решения возрастает с увеличением числа функций. Приближение к истинной величине нагрузки происходит сверху. Увеличивая число свободных параметров в искомых функциях, оболочке придают лишние степени свободы, что и способствует уточнению результатов, так как оболочка вообще является системой с бесконечным числом степеней свободы. [c.81]

Методы Релея — Ритца и Тимошенко широко используются. Обоснованию и развитию их посвящено большое количество работ (см. [5.1]). [c.81]

В тех случаях, когда не удается подобрать систему координатных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, в методе Релея — Ритца и Тимошенко можно потребовать, чтобы ряд (2.1) в целом удовлетворял граничным условиям. Полученные дополнительные условия вместе с минимизацией энергии или усилия приводят к изопериметрической задаче. В эгом случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа [6.26]. [c.81]

Метод конечных элементов. Этот метод, как и метод конечных разностей, имеет широкие возможности и хорошо приспособлен для машинной реализации. В основе его лежит идея расчленения конструкций на отдельные элементы. Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Релея — Ритца и вариационно-разностными методами. В методе конечных элементов, в отличие от метода Релея — Ритца, аппроксимация перемещений производится не по всей области их определения, а в пределах отдельных элементов. Это позволяет оперировать с более простыми функциями. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узловым перемещениям, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимации перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей. Метод конечных элементов отчасти соединяет в себе преимущества методов конечных разностей и Релея — Ритца и в некоторой степени свободен от их недостатков. [c.82]

Приближенные решения задачи при простейшей аппроксимации функции f x) были получены в работах Зандена, Тольке, Рейнольдса, Палия, Мека (см. [5.1]). В работе Браша и Альмрота [8.17] для свободно опертой оболочки получено более аккуратное решение методом Релея — Ритца. Решение построено в тригонометрических рядах. В [c.144]

Возьмем оболочку, нагруженную равномерным давлением до, приложенным на ее средней части длиной I (рис. 16.8). Впервые эта задача рассматривалась Фельдом, Альмротом и Брашем [16.10, 16.12]. Результаты их исследования, полученные для свободно опертой оболочки методом Релея — Ритца с учетом моментности исходного состояния представлены многочисленными эквидистантными друг другу графиками. Анализ этих графиков [16.15] показал, что критические давления до частично и д полностью загруженных оболочек связаны простой зависимостью [c.229]

Эта задача позже рассматривалась в работе [22.9]. Решение задачи было получено в тригонометрических рядах методом Релея — Ритца и исследовано численно. Исходное состояние оболочки считалось безмоментньтм. Результаты расчетов представлены на рис. 22.6 сплошными линиями. Пунктир нанесён по формуле (4.2). В работе [22.9] имеются результаты испытаний оболочек из эпоксидной резины. Экспериментальные значения критического давления для тонких оболочек составляют 85—91% от расчетных значений. [c.277]

Смещения (4.2) обращаются в нуль при г = О Методом Релея — Ритца в [23.4] найдено следующее выражение для сдвигающего усилия на меньшем основании [c.288]

Однако при оценке точности получаемых таким образом приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмотрим, например, применение метода Релея — Ритца в сочетании с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений, если допустимые функции выбраны соответствующим образом. Однако точность в распределении напряжений, вычисленных с использованием приближенных значений перемещений, нельзя признать удовлетворительной. Это становится очевидным, если вспомнить, что в определяющих уравнениях, полученных приближенным методом, точные уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях заменяются их взвешенными средними и что точность приближенных решений уменьшается при дифференцировании. Таким образом, уравнения равновесия и граничные [c.20]

Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых перемещений можно сформулировать вариационными методами, предположив существование трех функций Л, Ф, Y. Точные дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются из условий стационарности общей потенциальной энергии или родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ вариационного исчисления — это его применимость для получения приближенных решений. Так называемый метод Релея — Ритца — один из лучших способов получения приближенных решений путем использования вариационното метода [2, 3, 12—17]. Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами. [c.61]

Подставляя (1.34) в (2.12) и вычисляя объемный и поверхностный интегралы, можно выразить П через Ь , (г = 1, 2,. .., п). Значения этих постоянных в методе Релея — Ритца определяются условием 6П = О, которое в данном случае сводится к виду [c.61]

Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных методов 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния Л, Л Ф и Ч при использовании вариационных формулировок метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или максимальное значение функционалов. [c.62]

В предыдущем параграфе мы ознакомились с вариационными принципами для задачи о свободных колебаниях. Когда установлены вариационные принципы, то удобно использовать метод Релея — Ритца, который является эффективным средством нахождения приближенных собственных значений. Взяв за основу этот метод, рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях балки. [c.69]

Рассмотрим сначала применение метода Релея — Ритца к принципу стационарности потенциальной энергии. Будем следовать известной процедуре этого метода и выберем систему п линейно независимых допустимых функций u), (х), называемых базисными функциями, которые удовлетворяют (2.81). Предположим, что W — линейная комбинация базисных функций, а именно, что [c.70]

Далее рассмотрим применение метода Релея — Ритца к принципу стационарности дополнительной энергии. Иногда эту процедуру называют модифицированным методом Релея — Ритца [13], и суть ее заключается в следующем выбираем гг , как и в (2.86), где базисные функции w, (х) подобраны так, чтобы удовлетворялись (2.81). Подставим (2.86) в (2.84) и выполним интегрирование с граничным условием (2.85) [c.70]

Следовательно, метод Релея — Ритца приводит к определению верхних границ всех собственных значений. Установлено, что точность найденных таким образом приближенных собственных значений хорошая, а иногда и превосходная, если базисные функции выбраны соответствующим образом. Однако поскольку приближенный метод применяется к задачам, точное решение которых найти невозможно, то обычно нельзя заранее ожидать какой-либо информации о собственных значениях. Поэтому для оценки собственных значений необходимо получить формулы, определяющие нижние границы собственных значений. [c.71]

Мы Проиллюстрировали метод Релея — Ритца для задачи о свободных колебаниях. Очевидно, что этот метод применим и к другим задачам на собственные значения. Подробности и примеры численных расчетов по методу Релея — Ритца в приложении к задачам на собственные значения читатель найдет в [13, 16 и 26]. [c.72]

Итак, выведен принцип виртуальной работы, а также родственные ему принципы для задачи теории упругости при конечных перемещениях. Отметим, что приближенные методы решения типа обобщенного метода Галеркина ( 1.4) или Релея—Ритца ( 2.5) могут быть аналогично применены и в задаче с конечными перемещениями. Отметим также, что при изменении условий на 5а на величину dtt имеем [c.101]

Как отмечалось в 2.8, для получения приближенных собственных значений можно использовать метод Релея—Ритца, как только получены выражения для варьируемых функционалов. Если этот метод применить к принципу стационарности потенциальной энергии (7.45), то можно предположить [c.192]

Теперь применим модифицированный метод Релея—Ритца к принципу стационарности дополнительной энергии (7 56). Выберем W в виде (7.57). Как показывает вывод функционала [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...