ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование АВМ. Численно-аналитические методы из "Вибрации в технике Справочник Том 2 " Для решения этих задач разработаны различные численные методы интегрирования, которые благодаря использованию ЭЦВМ превратились в универсальные средства приближенного анализа колебаний. Развитие вычислительных средств привело к модернизации ранее разработанных и созданию новых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений теории колебаний. Задача выбора наиболее подходящего численного метода интегрирования связана со спецификой каждой конкретной задачи. Удачно выбрав метод, можно значительно ускорить процесс )ешения задачи, уменьшить требования к объему оперативной памяти, используемой ЦВМ. [c.120] Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120] В задачах теории колебаний колебательный характер процесса обнаруживается обычно при длительном наблюдении за ним. Это приводит к необходимости исследования математической модели этого процесса на временном интервале большой длины. [c.120] Чтобы при расчете не устойчивых периодических движений не встретить осложнений (таких, как быстрый рост ошибок с увеличением временного интервала, потерю устойчивости счета), целесообразно использовать сильно устойчивые вычислительные схемы. [c.121] Для каждого метода обычно оценивается порядок локальной погрешности относительно шага интегрирования /г. Говорят, что численный метод интегрирования имеет порядок s. если на всем временном интервале интегрирования б = 0(Л +1), т. е. 8/1 с постоянной с, не зависящей от шага й. [c.121] Метод Эйлера — приближенный метод первого порядка. [c.121] Метод Рунге — Кутта первого порядка точности совпадает с методом Эйлера. [c.121] Обычно порядок точности схемы (192) достаточен для достижения нужной степени точности решения задачи Коши (188) — (189). Это обусловливает широкое использование именно этой вычислительной схемы методов Рунге—Кутта. [c.122] ествуют методы Рунге—Кутта более высоких порядков. Однако повышение порядка метода приводит к быстрому возрастанию вычислительных операций, необходимых для их осуш,ествления. Проводя вычисления по схемам высоких порядков точности, всегда надо разумно сочетать выгоды от повышения порядка с потерями от увеличения числа вычислений. [c.122] Разностные методы решения задачи Коши (188) — (189) чаще всего используют сетку (191) с постоянным шагом Л. [c.123] В различных схемах разностных методов по-разному выбирают константы а,, Разностную схему называют явной, когда = О, и неявной, когда Рр 0. Вычисления по явной разностной схеме проще, чем по неявной, однако получаемые результаты менее точны. [c.123] Наиболее употребительные формулы явных разностных схем — экстраполяционные формулы Адамса, неявных — интерполяционные формулы Адамса, Милна. [c.123] При этом число т выбирают из условия совпадения значений ной степенью точности. [c.124] Приведенные разностные схемы интегрирования задачи (188) — (189) легко применить для решения задачи Коши в случае систем дифференциальных уравнений второго порядка (193) — (194). [c.124] Значение решения в точке t = задают условия Коши (189). Недостающие значения решения вычисляют, как правило, по одному из одношаговых методов, причем их точность должна быть по крайней мере в 5—10 раз большей, чем требуется для всего решения. [c.125] Численные методы решения краевых задач. Метод сведения к задаче Коши краевые задачи могут быть сведены к задаче Коши, следовательно, для нх решения применимы все приведенные выше схемы численного интегрирования. [c.125] Невырожденность матрицы А -f В Ь (Т) является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости исходной краевой задачи. [c.125] Иногда приближенное решение задачи (201), (202) можно найти путем миого-кратного решения задач Коши, поступая следующим образом. Пусть. х( , д о) — решение системы (201), принимающее при t = значенче j q Положим g Xo, х(Т, л о)) = = (7(jf ). Вычислим решение jf( ,j g) для заданных начальных значений = 1.2. .., N) и найдем значение функции G (j q) в точках О (j q) = 6 (v = 1, 2,. .., JV). [c.125] Вернуться к основной статье