ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод точечных отображений из "Вибрации в технике Справочник Том 2 " Физическое основание для указанной замены состоит в том, что колебания рассматриваемой системы во многих случаях являются преимущественно одночастотными, причем их формы близки к соответствующим формам свободных колебаний соответствующей линейной системы. [c.91] Как показано Н. Н, Боголюбовым в работе [131, рассмотрение уравнения (136J вместо системы (135) и, следовательно, вместо системы (133) приводит к тому, что к определяется с ошибкой не выше второго порядка малости. Аналогичные заключения могут быть сделаны и в отношении точности вычисления q - Изложенный метод редукции В. Н. Челомея получил широкое распространение в теории колебаний и с успехом применяется для решения сложных задач. [c.91] О методе прямого разделения движений. Идея разделения движений на быстрые и медленные является одной из основных в асимптотических методах и методе усреднения. В важном классе задач обобщенные координаты системы х в изучаемых движениях могут быть представ.лены а виде суммы л = А + ij) медленной X и быстрой -ф составляющих. [c.91] В этих случаях при определенных условиях удается перейти от исходных дифференциальных уравнений для переменных к к более простым уравнениям для наиболее важных медленных составляющих X в этих уравнениях наряду с обычными медленными силами фигурируют некоторые дополнительные силы, называемые вибрационными силами. Примерами подобных уравнений являются уравнения (130), полученные Н. Н. Боголюбовым, и уравнение (132), выведенное В, Н. Челомеем посредством применения асимптотических методов. Подробно о методе см. гл. IX. [c.91] Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91] В работах Д. Бнркгофа метод секущей поверхности, состоящий в рассмотрении фазовых траекторий с помощью точечного отображения, порождаемого ими на секущей поверхности, превратился в основной инструмент теоретического изучения динамических систем [б]. [c.91] В противном случае неподвижная точка неустойчива. [c.93] Ряд примеров применения метода точечных отображений к исследованию конкретных линейных колебательных систем приведен ниже, а также в гл. VI. [c.93] Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были высказаны А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе на сессии отделения физико-математических наук АН СССР Теория точечных преобразований Пуанкаре— Брауера—Биркгофа и теория нелинейных колебаний . [c.94] Все это вместе позволило решить ряд нелинейных задач теории автоматического регулирования. Среди них задача Мизеса, задача о стабилизации самолета автопилотом, задача Вышнеградского, задача о влиянии сухого трения на устойчивость непрямого регулирования и другие (см, [2, 45]), Характерным в решении этих задач было совместное рассмотрение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров, использование соображений непрерывной зависимости движений от параметров и их бифуркаций. [c.94] Следующий эгап в развитии метода точечных отображений состоял в применении его к новым типам систем, в перенесении на многомерные системы и использовании для решений общих вопросов теории нелинейных колебаний. При этом метод секущей поверхности отступил на второй план, и точечные отображения стали формой описания динамических систем, удобной как для конкретных численных исследований, так и для изучения теоретических вопросов [45]. [c.95] Метод точечных отображений был применен к релейным системам автоматического регулирования, к исследованию нелинейных сервомеханизмов, систем циклической автоматики, экстремальным регуляторам, системам массового обслуживания конфликтных потоков заявок и марковским системам, к исследованию процессов вибропогружения и виброперемещения, виброударным системам и системам с ударными взаимодействиями, к исследованию часовых ходов, нелинейных демпферов, цифровых систем, систем с переменной структурой, к задачам фазовой автоподстройки и синхронизации, к исследованию колебаний механических систем с конструкционным демпфированием и люфтом, к гироскопическим системам, к нелинейным радиотехническим системам, к изучению колебаний вала в подшипнике и многим другим. [c.95] Метод точечных отображений расширил понимание особенностей многомерных динамических систем [45, 65]. [c.96] Таким образом в настоящее время с помощью теории нелинейных колебаний помимо состояний равновесия и периодических движений исследуют стохастические колебания, турбулентность и случайные волны. [c.96] Вернуться к основной статье