ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод малого параметра из "Вибрации в технике Справочник Том 2 " Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51] Принципиальное решение указанных задач дает теория А. Пуанкаре. Им было, в частности, показано, что соответствие между решениями систем (40) и (41) имеет место не всегда. В зависимости от характера правых частей уравнений (40) может оказаться, что периодическому решению порох дающей системы (41) не соответствует периодическое решение исходной системы (40). С другой стороны, возможны случаи, когда решению порождающей системы отвечает несколько и даже бесчисленное множество периодических решений исходной системы. Именно эти особые случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний. [c.52] Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные Т-периодические решения х1 (О уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождаюш,ей системы, составленными для порождающего решения. [c.53] Каждому простому решению = af, этих уравнений, т. е. решению. [c.53] Одна из важных особенностей исследования характера решений системы в вариациях (52) связана с наличием в ней малого пара.метра. Если система, получающаяся из (52) при ц = О, т. е. система (46), имеет только затухающие при t оо решения, то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при достаточно малых ц. Если система (46) имеет хотя бы одно неограниченно возрастающее при /- оо решение, то рассматриваемое движение при достаточно малых (х неустойчиво. Когда система (46) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устойчивости движения (даже при достаточно малых i) необходимо рассмотреть члены уравнений (52), содержащие J.. [c.54] Последний критический случай представляет наибольший интерес, ибо он соответствует случаю, когда порождающая система имеет семейство Г-периодических решений. Специальное исследование приводит к следующему результату, также принадлежащему И. Г. Малкину [7, 38]. [c.54] Другая особенность автономной системы состоит в том, что период искомых решений не является заданным уравнения (55) могут иметь решения любого и притом заранее неизвестного периода Т , который, вообще говоря, будет зависеть от параметра j. и, может быть, также от параметров. .., а но мы будем предполагать, что эта последняя зависимость отсутствует. Обозначим через ( j.) = = Т [ —б ( i)] период искомого решения, понимая под Т период пopoждaющeг решения (заранее неизвестный), а под S (ц) — неизвестную функцию ц, обращающуюся в нуль при = 0. [c.55] Пусть система (46) не имеет периодических решений, отличных ог решений (58) и От их линейных комбинаций, а все прочие решения этой системы при t оо либо неограниченно убывают, либо неограниченно приближаются к указанным периодическим решениям или их комбинациям. Тогда в точности k периодических решений К, (О (у = I. fe) будет допускать также и система (49), сопряженная с (46), причем эти решения можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства (53). [c.55] О практическом использовании изложенных общих результатов и построении периодических решений в виде рядов по малому параметру. Использование изложенных выше теорем позволяет получить условия существования и устойчивости периодических решений, а также полностью определить соответствующее порождающее приближение. При решении многих прикладных задач этого оказывается вполне достаточ 1ым. Поэтому рассмотрим вначале технические трудности, связанные с построением функций Pj. [c.56] Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56] Принципиальных трудностей не возникает, если порождающая система представляет собой систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами (см. ниже) или систему, которая приводится к таковой. [c.56] После того как выражения для функций получены, исследование сводится к решению уравнений (50) или (59) и к обычной задаче Гурвица для алгебраических уравнений (54) или (60). [c.57] Таким образом, для фактического построения рядов (42) необходимо найти пери-одическге решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэффициентами, однородная часть ) оторых совпадает с уравнениями в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегрирования однородной системы (46). [c.57] Для автономной исходной системы заменой независимой перемеи[юй t = = т [1 — б (fi)] изучение периодических решений уравнений (55) с неизвестным периодом (ц) = Т [1 — б ( i)] сводится к изучению периодических решений с периодом Т. Этот случай имеет ту особенность, что наряду с постоянными из условий периодичности соответствующего приближения одновременно находится поправка к периоду искомого решения. [c.57] Таким образом в рассматриваемом случае выполняются все условия, сформулированные на стр. 54 для составления уравнени11 (50), (54) и построения рядов (42) при этом потребуется лишь решение линейных диф4)еренциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.58] Значение интегрального критерия определяется тем, что в ряде случаев потенциальная функция имеет определенный физический смысл. Например, в ряде задач о синхронизации динамических систем (см. гл. VIII) она равна среднему за период значению функции Лагранжа системы, взятой с противоположным знаком и вычисленной для порождающего рещения [7]. Кроме того, в условиях справедливости интегрального критерия условия устойчивости могут быть записаны в явной форме, ибо согласно критерию Сильвестра условия минимума функции О сводятся к требованию положительности всех главных миноров матрицы, D/da,daj II. [c.62] Об уровне строгости прикладных результатов, получаемых методами Пуанкаре. [c.62] Приведенные выше результаты устанавливают существование, единственность, аналитичность, а также устойчивость периодического решения лишь при достаточно малых значениях р между тем в каждой прикладной задаче теории колебаний встречаются некоторые конечные значения (.i. Сходимость рядов, а также устойчивость решений при этих конечных значениях параметра в подавляющем большинстве прикладных исследований ие изучают, так как, во-первых, это трудоемкий процесс, во-вторых, соответствуют,не оценки часто оказываются неэф ективными, ибо всегда ориентированы на худший случай. Таким образом, строго установленные локальные резу ч.таты фактически используют нелокально. По этой причине, а также в связи с тем, что обычно находят лишь один—три члена ряда, к соответствующим результатам следует относиться как к пол ченным лишь на рациональном уровне строгости , несмотря на полную строгость указанных выше теорем. Поэтому проверку результатов с помощью физического или численного эксперимента не следует считать излишней [2, 7, 8, 10]. [c.62] Вернуться к основной статье