ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения малых свободных колебаний из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " Пусть при / = О системе дается отклонение от положения устойчивого равновесия к (или) ее точкам сообщаются начальные скорости. Совокупность этих воздействий будем называть начальными возмущениями, которые сообщают системе некоторое количество механической энергии, дополнительное к потенциальной энергии в положении равновесия. Колебания, происходящие в системе при / О, представляют собой свободные колебания, определение которых дано в гл. I. [c.55] Ограничимся рассмотрением таких свободных колебаний, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Для того гтобы уравнения движения были линейными, необходимо, чтобы отклонения системы от положения равновесия были достаточно малы (что обеспечивается малостью начальных возмущений). Кроме того, система должна быть такова, чтобы уравнения движения допускали линеаризацию в окрестности положения равновесия. Последнее условие накладывает ограничения на структуру системы, тип связей и свойства действующих сил. [c.55] Эта матрица называется матрицей инерционных коэффициентов или просто инерционной матрицей. [c.55] Здесь q — матрица-столбец обобщенных скоростей, т. е. [c.56] Поскольку г о, если хотя бы одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то квадратичная форма (3) и соответствующая ей инерционная матрица А будут положительно определенными. Исключение составляют некоторые вырожденные случаи, например, системы с полуцелым числом степеней свободы, для которых квадратичная форма кинетической энергии может оказаться неотрицательной. Из положительной определенности квадратичной формы (3) вытекает положительность определителя инерциопнот матрицы А и ее главных миноров, а также существование обратной матрицы A . [c.56] Положительная определенность квадратичной формы (10) в данном случае означает что при любом малом отклонении от положения равновесия действующие силы будут стремиться вернуть систему к этому положению. Силы такого типа называют восста-навливающими. Важный пример восстанавливающих сил —линейно упругие силы. Термин квазиупругие коэффициенты связан с понятием о линейно упругих силах и соответствующих упругих коэффициентах. [c.57] Если исходная система нелинейна то уравнения (15) описывают малые колебания системы относительно положения равновесия. Для получения этих уравнений следует либо непосредственно использовать малость отклонений от положения равновесия при составлении уравнений (если последние выводятся из законов динамики), либо линеаризировать соответствующие нелинейные уравнения, либо аппроксимировать кинетическую и потенциальную энергию системы при помощи квадратичных форм, коэффициенты котсрых совпадают с коэффициентами уравнений малых колебаний (15). [c.57] Матрица единичных перемещений симметрична (fjk=fkj]i з соответствуюш,ая ей квадратичная форма — положительно определенная. Из сопоставления (12) и (18) следует, что матрицы единичных перемещений и квазиупругих коэффициентов являются взаимно обратными, т. е. F = С . [c.58] Вернуться к основной статье