ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение масс в абсолютно твердом теле из "Вибрации в технике Справочник Том 1 " Предварительные замечания. Абсолютно твердым телом называют материальное тело, в котором расстояние между двумя любыми точками всегда остается неизменным. Тело, не удовлетворяющее этому условию, называют деформируемым телом. В дальнейшем для краткости абсолютно твердое тело будем называть просто твердым телом. [c.40] Твердое тело является континуумом материальных точек. Поэтому использование теорем классической механики в применении к твердому телу требует предельного перехода, в частности, замены суммирования по материальным точкам системы интегрированием по объему, занятому телом. Распределение массы в теле характеризуется функцией р (г), равной плотности тела в точке с радиус-вектором г. [c.40] Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Его движение описывается шестью уравнениями динамики, в качестве которых можно Взять, например, векторное уравнение (9), выражающее теорему об изменении количества движения, и векторное уравнение (10), выражающее теорему об изменении главного момента количества движения твердого тела. Поскольку уравнение (9) определяет закон движения центра масс тела, то в качестве второго векторного уравнения целесообразно взять уравнение (22), описывающее изменение главного момента количества движения относительно центра масс. В связи с этим в динамике твердого тела особое значение приобретают центр масс и распределение массы тела относительно этого центра. [c.40] Величины, стоящие в числителях, называют статическими моментами массы. [c.41] Данные о положении центра масс некоторых однородных тел простейшей геометрической формы можно наитн в табл. 1. Отыскание центра масс упрощается, если тело обладает симметрией (как в геометрическом смысле, так и в смысле распределения массы в теле). Если тело имеет плоскость симметрии, то центр масс лежит в этой плоскости если оно имеет ось симметрии, то центр масс лежит на этой оси. Если тело имеет центр симметрии, то центр масс совпадает с этим центром. Поле плотности р (г) должно удовлетворять при этом соответствующим условиям симметрии. [c.41] Моменты распределения масс в твердом теле. [c.41] Введем систему координат Охуг, начало которой совмещено с центром масс тела (рис. 6). Соответствующие оси координат называют центральными. Для удобства написания общих формул будем пользоваться также индексными обозначениями X = Xi, у Х2, г = Х3. [c.41] Здесь Xj, Xh, Xi,. .. — координаты точек тела, включая повторяющиеся. Эти иитегралы называют моментами распределения масс. Моменты первого порядка — это введенные ранее статические моменты. Относительно центральных осей эти моменты тождественно равны нулю. [c.41] Совокупность этих моментов характеризует некоторый тензор второго ранга по отношению к ортогональному преобразованию системы координат. [c.41] Эти величины называют моментами инерции тела относительно координатных осей при этом моменты /ц, 1 2 и /33, равные суммам произведений элементарных масс да квадраты расстояний от этих масс до осей Ох , Ох и Ох соответственно, называют осевыми моментами инерции. Остальные моменты /jj = /оъ hs = h J23 = /32. содержащие произведения неодинаковых координат, называют центробежными моментами инерции. Осевые моменты инерции положительные центробежные моменты могут принимать положительные, нулевые и отрицательные значения. [c.45] Выражения для осевых моментов инерции отличаются от (53) только обозначениями для центробежных моментов, кроме того, знаком. В матрице моментов инерции целесообразно сохранить знак, который содержится в формулах (53), т. е. [c.45] Формула (58) означает, что совокупность моментов инерции относительно координатных осей, имеющих общее начало, образует тензор второго ранга. [c.45] Остальные моменты инерции остаются без изменения. Некоторые знаки в системе (60) могут не совпадать со знаками, приводимыми в отдельных руководствах, что связано как с использованием технических обозначений (55), так и с выбором правила знаков для ф. В данной книге всюду используется правая система координат, а знаки псевдоскаляров и псевдовекторов согласованы с выбранной системой координат. [c.46] Главные моменты инерции обладают экстремальными свойствами момент инерции Jf является максимальным, а Уд — минимальным среди всех осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через то же начало координат. [c.46] Пусть тело обладает геометрической симметрией и симметрией в распределении масс. Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к ней, будет главной осью если тело имеет ось симметрии, порядок которой выше двух, то одна из главных осей совпадает с этой осью. [c.47] Здесь X (д-j, X2), у (xi, J 3) — декартовы координаты точек срединной плоскости относительно системы Oxyz Xi, х — координаты на срединной плоскости (рис. 8, б). [c.47] Здесь а, й, с — расстояния между осями М — масса тела. В формулах (60) использованы технические обозначения (55) для моментов инерции. [c.48] Вернуться к основной статье