ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод статистических решений из "Техническая диагностика " Вводные замечания. Рассматриваемые в этой главе методы также относятся к статистическим. Однако они отличаются от изложенных в гл. 2 правилами принятия решения. В методах статистических решений решающее правило выбирается исходя из некоторых условий оптимальности, например из условия минимума риска. Возникшие в математической статистике как методы проверки статистических гипотез (работы Неймана и Пирсона), рассматриваемые методы нашли широкое применение в радио-, локации (обнаружение сигналов на фоне помех), радиотехнике, общей теории связи и других областях. Методы статистических решений успешно используются в задачах технической диагностики [10, 24]. Ниже излагаются основы теории статистических решений, более подробное изложение можно найти в работах [15, 60, 62]. [c.22] Рассмотрим сначала процесс распознавания при наличии одного диагностического параметра. [c.22] Правило решения. Пусть производится диагностика состояния газотурбинного двигателя по содержанию железа в масле (параметр дс). Задача состоит в выборе значения Хд параметра х таким образом, что при х следует принимать решение о снятии двигателя с эксплуатации, а при х Xq допускать дальнейшую работу. [c.22] Содержание железа в масле неоднозначно характеризует состояние подшипника (в масло попадают железные частицы от других трущихся деталей шестерен, шлиц и т. д.). В зависимости от ряда факторов распределение х для дефектных и исправных подшипников показано на рис. 3. Существенно, что области исправного Di и дефектного состояний пересекаются и потому принципиально невозможно выбрать значение Xq, при котором правило (5.1) не давало ошибочных решений. Задача состоит в том, чтобы выбор Хо был в некотором смысле оптимальным, например давал наименьшее число ошибочных решений. [c.23] Рассмотрим сначала возможные ошибки при принятии решения. [c.23] Ложная тревога и пропуск цели (дефекта). Эти встречавшиеся ранее термины явно связаны с радиолокационной техникой, но они легко интерпретируются в задачах диагностики. [c.23] Ложной тревогой называется случай, когда принимается решение о наличии дефекта, но в действительности система находится в исправном состоянии (вместо принимается D . [c.23] Пропуск цели (дефекта) — принятие решения об исправном состоянии, тогда как система содержит дефект (вместо принимается Dj). [c.23] В теории контроля эти ошибки называются риском поставщика и риском заказчика. Очевидно, что эти двоякого рода ошибки могут иметь различные последствия или различные цены. [c.23] Обозначим Hij (г, / == 1,2) возможные решения по правилу (5.1) (первый нижний индекс соответствует индексу принятого диагноза, второй — индексу действительного состояния). Тогда — пропуск дефекта и Н— ложная тревога (D, — исправное состояние, Dj —дефектное состояние) Яц и Н— правильные решения. [c.23] Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной и потому равенства (5.5) и (5.6) представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска. [c.24] Эти условия вытекают из соотношений (5.1) и (5.8). [c.26] Условие (5.11) соответствует х Хо, условие (5.12) х Хд. [c.26] Существенно, что правило решения (5.1) выражается теперь с помощью отношения правдоподобия и для принятия решения даже не требуется определение критического значения параметра Xq. Это справедливо при некоторых ограничениях, например, для достаточно плавных ( одногорбых ) распределений. [c.26] Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдоподобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, так как логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своим аргументом. Расчет для нормального и некоторых других распределений при использовании логарифма отношения правдоподобия оказывается несколько проще. Условие минимума риска можно получить из других соображений, которые окажутся важными в дальнейшем. [c.26] Правило решения остается прежним [уравнение (5.1)1 и остаются в силе условия (5.8). [c.27] Пример. Рассмотрим случай, когда параметр д имеет нормальное распределение при исправном Di и неисправном состояниях. Рэссеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым. [c.27] Метод минимакса предназначен для ситуации, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности диагнозов Di и D Рассматривается наихудший случай , т. е. наименее благоприятные значения и приводяш,ие к наибольшему значению (максимуму) риска. [c.29] Теперь требуется определить значения и Р удовлетворяющие уравнениям (5.27) и (5.29). Если х1 и Р являются корнями указанных уравнений, то точка R (хо, Р ) является экстремальной. [c.29] Можно показать для одномодальных распределений, что величина риска становится минимаксной (т. е. минимальной среди максимальных значений, вызванных неблагоприятной величиной Pi). Отметим, что при Pi — О и Pi == I риск принятия ошибочного решения отсутствует, так как ситуация не имеет неопределенности. При Pi = О (все изделия неисправны) из условия (5.8) вытекает Xq -- — сю и все объекты действительно признаются неисправными при Pi = l и Р = О Xq сх ив соответствии с имеющейся ситуацией все объекты классифицируются как исправные. [c.30] Вернуться к основной статье