ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных элементов из "Математические модели технических объектов (САПР 4) " Наиболее часто в составе САПР используются два ме тода сеток J) метод конечных элементов (МКЭ) 2) метод конечных разностей (МКР). Эти методы отличаются друг от друга на этапах 1 и 2 алгоритма. На этапе 3 методы практически идентичны. [c.12] К основным преимуществам МКЭ относят доступность и простоту его понимания и применимость метода для задач с произвольной формой области решения, возможность создания на основе метода высококачественных универсальных программ для ЭВМ. [c.13] В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные подобласти — конечные элементы. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной, определенной на множестве конечных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов. [c.13] Пример использования МКЭ для расчета одномерного температурного поля в однородном стержне. Пусть имеется стержень длнной L и площадью поперечного сечения S (рпс. 1.1), Одни конец стержня жестко закреплен, и к нему подводится тепловой поток q заданной интенсивности. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны коэффициент теплообмена а и температура окружающей среды Т,. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован. [c.13] Искомое температурное поле является непрерывной функцией координаты X (рис. 1.2, а). В МКЭ стержень разбивается произвольным образом на конечные элементы, которые в данном случае являются отрезками неравной длины. На каждом элементе непрерывная функция Т(х) аппроксимируется некоторой линейной зависимостью, как показано на рис. 1.2,6 (в скобках указаны номера элементов). Аппроксимирующая кусочно-линейная функция определяется через узловые значения Ti—Те, которые в общем случае сначала неизвестны и подлежат определению в МКЭ. [c.14] Аналогичный подход может быть и в случае двух- и трехмерных областей определения искомой функции. [c.14] Для двухмерных областей наиболее часто используются элементы в форме треугольников и четырехугольников. При этом элементы могут иметь как прямо-, так и криволинейные границы, что позволяет с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы. [c.14] В общем случае алгоритм МКЭ состоит из четырех этапов. [c.15] Этап 1. Выделение конечных элементов (разбиение заданной области на конечные элементы). [c.15] Функции формы легко вычисляются в каждой точке конечного элемента через координаты самой точки и координаты узлов элемента. [c.15] Система (1.14) является моделью искомой непрерывной функции. [c.15] Этап 4. Определение вектора узловых значений функции. В общем случае вектор Ф в (1.4) вначале неизвестен. Его определение — наиболее сложная процедура в МКЭ. [c.15] Этап 4. Решение системы (1.18), позволяющее определить неизвестный вектор узловых значений. [c.16] Найденные значения вектора Ф подставляют в (1.14), после чего значение функции ф легко вычисляется в любой точке заданной области. [c.16] Разбиение области на элементы обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы, затем производится разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала область разбивают на достаточно крупные подобласти (подконструкции), границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материала, геометрия, приложенная нагрузка и пр. Затем каждая подобласть разбивается па элементы. Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать. На рис. 1.3 приведен пример разбиения двухмерной области произвольной формы на треугольные конечные элементы с криволинейными границами. [c.17] Дело в том, что матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит МКЭ,— сильно разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали (рис. 1.4). Целое число/., представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ в САПР и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит, в свою очередь, от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. [c.18] Под числом степеней свободы понимают количество неизвестных функций, определяемых в каждом узле. Так, например, для двухмерных задач гидравлики в каждом узле определяют три переменные давление и составляющие скорости по осям X и У. [c.18] В некоторых случаях уменьшение числа N может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера рассматриваемой области. [c.18] Информация о способе разбиения области на конечные элементы и нумерации узлов является исходной для всех следующих этапов алгоритмов МКЭ при реализации метода в САПР. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла и его принадлежность к определенным конечным элементам. Такого рода информация называется топологической и обычно содержит примерно в 6 раз больще чисел, чем количество узлов системы. [c.19] При описании области, разбитой на конечные элементы, необходимо задавать тип конечного элеме [та его порядковый номер номера узлов элемента координаты узлов, информацию о соединении элементов между собой значение физических параметров объекта в пределах каждого конечного элемента. Так, промыщленная эксплуатация программной системы (см. ниже) долгое время тормозилась именно сложностью подготовки исходных данных, объем которых в некоторых случаях достигал нескольких сотен тысяч. [c.19] Вернуться к основной статье