ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение систем уравнений высоких порядков из "Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений " Много работ посвящено уменьшению ширины ленты, хотя при нумерации узлов более объективным критерием является минимизация вычислений, а не ширина ленты. В этом смысле иногда нумерация, приводящая к системе уравнений в виде небоскреба (рис. 4.1, а), может оказаться более оптимальной, чем с минимальной шириной ленты (рис. 4.1, б). [c.102] Много модификаций связано с использованием блочной схемы Гаусса. Часть усовершенствований ориентирована непосредственно на тот или иной тип ЭЦВМ. К ним относится прием обхода нулей если в j исключаемом уравнении некоторые коэффициенты равны нулю, то исключение / неизвестного из уравнений с номером, соответствующим нулевым коэффициентам, не происходит. Так как ленточная матрица канонических уравнений, как правило, содержит много нулевых членов внутри ленты, то даже несмотря на то, что в процессе прямого хода по Гауссу часть из них заполняется, этот прием оказывается достаточно эффективным и в среднем сокращает время решения системы уравнений на 10—15%. [c.102] Пренебрегая укорочением уравнений с номером, большим п— —h+, найдем, что минимум m(t) соответствует = 0,5s, а сама функция m(t) имеет форму, показанную на рис. 4.4. К такой форме (при уменьшении отношения sjh) стремится и функция m(t) для полностью заполненной матрицы. [c.104] Опыт показывает, что одинарной точности для ЕС ЭВМ не хватает даже при решении средних по размеру задач неизвестных около 300), и здесь необходимр предусматривать возможность решения задачи либо, с двойной точностью, либо последующего уточнения на основе какого-либо итерационного процесса. [c.105] Так как каждый элемент вектора Ur есть функция от координат X, у, Z для точек области г, конечного элемента, то и элементы вектора г и lOr, т. е. виды деформаций и напряжений Ех, еу,Хху,Ох и т. д., также будут функциями координат х, у, z. Подставив конкретное значение х, у, z для рассматриваемой точки, получим величины всех компонентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений q. Значения же перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке Qr в данном случае нужно рассматривать как своеобразные интерполяционные выражения. Причем закон интерполяции обусловлен системой аппроксимирующих функций фг, т. е. принят на самых ранних этапах расчета. Следует отметить, что метод перемещений обусловливает разрывы напряжений и деформаций на границах конечных элементов.. [c.105] В практических расчетах можно пользоваться средними значениями этих компонентов, хотя безусловно необходимы теоретические исследования, позволяющие решить этот вопрос в большей степени логично. [c.105] Для метода конечных элементов в перемещениях нулевые перемещения, отражающие имеющиеся связи по направлению выбранной системы координат, задаются достаточно просто номера степеней свободы, соответствующие наложенной связи, объявляются нулевыми и при составлении матрицы канонических уравнений элементы матриц жесткости конечных элементов, соответствующие нулевым номерам степеней свободы, опускаются. Таким образом, столбцы и строки общей матрицы жесткости К, соответствующие наложенным связям, отсутствуют. При расчете на заданное перемещение а по направлению t-й степени свободы обычно поступают следующим образом t столбец общей матри-. цы К перемножают на величину а, полученные значения переносят в правую часть t столбец и г строку матрицы К исключают из рассмотрения, т. е. либо вычеркивают, либо обнуляют (кроме диагонального члена). [c.106] Такое задание граничных условий (наложение связей можно рассматривать как расчет на заданные нулевые перемещения) имеет ряд существенных недостатков расчет на заданные перемещения труден с алгоритмической точки зрения практически невозможно наложить связи (и рассчитать на заданные перемещения) по направлениям, не совпадающим с направлениями осей выбранной системы координат усилия в наложенных связях не вытекают из прямого расчета и их можно получить из рассмотрения условий равновесия соответствующего узла, что не очень удобно алгоритмически. [c.106] Рассмотренные приемы продемонстрированы на примере для линейного перемещения, однако по аналогии могут быть использованы и для угловых перемещений. [c.107] Эти недостатки можно избежать, если матрицу жесткости г конечного элемента обработать специальным образом -для Qt,i степени свободы, по направлению которой присоединение имеет определенную податливость, на матрице Кг и векторах узловых усилий (к которым приведена местнаяг нагрузка) производится Жорданово исключение с предварительной засылкой в элемент Ки значения податливости присоединения. Если происходит только снятие связи (нулевая жесткость присоединения), то в элемент Кп ничего не засылается. [c.108] В строительной механике стержневых систем матрица жесткости при введении шарниров строится из других соображений, хотя и в этом случае может быть использован рассмотренный выше общий прием. [c.108] Если рассчитываемая система слишком громоздка, то иногда оказывается удобным организовать так называемый рекурсивный расчет с расчленением всей системы на подсистемы — супер-элементы. Этот прием может оказаться удачным, когда расчленение на подсистемы происходит естественно например, здание из объемных блоков (объемный блок — суперэлемент) или диафрагма высотного здания, собирающаяся из отдельных панелей (панель — суперэлемент). Фрагмент диафрагмы высотного здания показан на рис. 4.7. Диафрагма состоит из отдельных панелей, соединяющихся между собой в угловых точках. [c.108] Этой формулой широко пользуются при расчете физически нелинейных стержневых систем, хотя, по-видимому, ею можно пользоваться и для сложного напряженного состояния. [c.111] Одно из важных и перспективных направлений дальнейших исследований в области МКЭ — его реализация на ЭВМ. Для этого есть много предпосылок хорошая приспособляемость процедуры МКЭ для алгоритмизации быстрое развитие вычислительной техники большое количество инженеров и ученых, ра ботающих в области МКЭ острая необходимость в удобных промышленных вычислительных комплексах. Имеется опыт использования МКЭ в практической инженерной деятельности, и можно го-. ворить о намечающихся тенденциях в этом направлении. До появления программ, реализующих МКЭ, были доступны средства, автоматизирующие расчеты стержневых систем. Поэтому, исследуя сложный объект теории упругости, либо прибегали к стержневым аппроксимациям, либо, применяя численные методы теории упругости, основные усилия тратили на сокращение количества вычислений. Для этого использовались различные упрощенные вспомогательные расчеты, экспериментальные данные об аналогичных сооружениях, определенная интуиция и т. п. Как вспомогательный материал к таким расчетам использовались соответствующие таблицы, номограммы и т. п., полученные методом конечных разностей или в рядах для плит, балок-стенок, оболочек, имеющих простую конфигурацию, граничные условия и нагруз--ку. Такая ситуация, с одной стороны, делала подобные исследования уделом небольших групп высококвалифицированных специалистов, с другой стороны, приводила к тому, что различные конструктивные особенности, оказывающие значительное влияние на напряженио-деформированное состояние конструкции, ускользали от его внимания. [c.113] В настоящее время без особого труда осваиваются вычислительные комплексы, реализующие МКЭ. Этому способствует аналогичность вычислительной процедуры МКЭ и вычислительных схем расчета стержневых систем. Выполнение численных исследований увеличивает вероятность учета в расчетных схемах различных существенных конструктивных особенностей. Конечно, сокращение количества вычислений по-прежнему продолжает играть важную роль, так как возможности МКЭ и ЭВМ ограничены, однако этому уже не уделяется основное внимание. Центр тяжести переносится на построение расчетных схем, максимальное приближение математической модели к действительной работе сооружения. [c.113] Большое число имеющихся вычислительных комплексов свидетельствует о сложности проблем, связанных с реализацией МКЭ на вычислительных машинах, и невозможности их однозначного решения. [c.114] Вернуться к основной статье