ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование конечных элементов из "Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений " Приведем конкретные примеры оценки погрешности для различных типов конечных элементов. Своеобразные исследования конечных элементов из чисто физических соображений (проверка совместности элементов, условия жесткого смещения) даны в работе [31]. Приводимые ниже исследования основаны на современном представлении математической сущности МКЭ [45, 69] и используют соотношения (1.12) — (1.19). [c.13] Совместный прямоугольный конечный элемент для плоского напряженного состояния. В каждом узле этого элемента (рис. [c.13] Функции ф/ равны единице в узле j и равны нулю на сторонах которые не примыкают к /, изменяются по полилинейному закону на Qr и по линейному на сторонах, примыкающих к узлу /. [c.14] Система функций (1.20) линейно независима. Линейный закон изменения функций ф,- на сторонах конечных элементов обеспечивает существование напряжений и деформаций, входящих в функционал потенциальной энергии. Следовательно, система функций (1.20) принадлежит энергетическому пространству На. [c.14] Для плоского напряженного состояния порядок дифференциального оператора 2т = 2. Поэтому, чтобы показатель степени р+1—т в оценках (1.13) —(1.17) был больше нуля, необходимо, чтобы порядок аппроксимации хотя бы равнялся 1, т. е. р 1. [c.14] Проверим этот прогноз численным экспериментом. Рассчитаем жестко подвешенную прямоугольную балку-стенку под равномерно распределенную нагрузку р = 500 тс/м, приложенную к верхней грани (рис. 1.3). Модуль упругости материала = 2-10 тс/м2, коэффициент Пуассона ja = 0,15, толщина конструкции 6 = 0,1 м. [c.15] Следующий численный пример подтверждает это. Рассчитывается квадратная шарнирноопертая плита (рис. 1.4) под равномерно распределенную нагрузку р=100 тс/м . Модуль упругости материала = 3-10 тс/м , коэффициент Пуассона и[=0,25, толщина плиты 6 = 0,1 м. [c.18] Примечание. Величины перемещений даны в мм, а моментов — в тс-м. [c.18] Рассуждения по поводу использования оценок (1.14) и (1.15), а не (1.16) и (1.17) и по поводу построения пределов для точного решения на основе двух приближенных для данного случая совершенно аналогичны рассуждениям для выше рассмотренного конечного элемента плоского напряженного состояния. [c.18] Обозначения степеней свободы и координатных функций аналогичны обозначениям, принятым для элемента Богнера— Фокса — Шмита. [c.19] Система функций (1.26) обусловливает разрывы первой производной по направлению нормали к границе элемента и, следовательно, не принадлежит к энергетическому пространству для задач изгиба плкты. [c.19] Нетрудно установить, что тождества типа (1.24) удовлетворяются системой функций (1.25). Следовательно, в данном случае порядок аппроксимации р = 3. [c.19] Как видно из таблицы, порядок сходимости как для перемещений, так и для моментов равен /г , так как с удвоением сетки погрешность (разность между точным и приближенным решением) убывает в 4 раза. [c.20] Подобные исследования треугольного несовместного конечного элемента плиты с шестью степенями свободы (в вершинах треугольника вводится по одной степени свободы — вертикальное перемещение, а по серединам сторон — угол поворота ортогональный стороне) показали, что требование теоремы не удовлетворяется, следовательно, использование такого элемента некорректно. [c.20] Для проверки построенных аппроксимирующих функций был поставлен численный эксперимент. Рассчитывалась плита, показанная на рис. 1.4. [c.22] Два варианта расчетной сетки (условно 4X4 и 8X8) для четверти плиты показаны на рис. 1.7. В табл. 1.4 приведены результаты эксперимента, которые подтверждают сходимость построенного элемента. [c.22] Примечание. Перемещения даны в мм, а усилия — в тс/м-. [c.23] Вернуться к основной статье