ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод решения краевых задач для линейных систем из "Численные методы в механике " Если несколько стержней соединены в единую конструкцию, то для системы стержней можно составить матричное уравнение типа (1.40). Матрица А преобразуется к квазидиагональному виду, а векторы Y и X будут содержать параметры напряженно-деформированного состояния всех стержней в текущей и начальной точках. [c.30] Диагональные блоки матрицы А представляют собой одинаковые или разные квадратные матрицы ортонормированных фундаментальных функций, описывающих состояние стержней. Вектор нагрузки В строится аналогично векторам У и X и включает внешнюю нагрузку всех стержней по выражению (1.33). [c.30] Такая схема формирования матричного уравнения требует дискретизации стержневой системы в узлах. Связано это с тем, что узлы являются точками разрыва кинематических и статических параметров стержней, а уравнение (1.40) справедливо в точках непрерывности параметров напряженно-деформированного состояния. Однако, при необходимости, узлами стержневой системы могут быть и точки, где сохраняется непрерывность параметров. Порядок чередования параметров стержней в матрицах (1.45). произвольный, т.е. в цепочке могут располагаться параметры стержней, находящихся в разных местах конструкции. Поэтому любую стержневую систему можно описать уравнением типа (1.40), выступающим уже в роли математической модели деформирования линейной системы. Порядок такого уравнения определяется числом стержней, на которое разбивается система, и порядком дифференциальных уравнений, принятых для описания состояния стержней. [c.30] Как видно, сущность схемы преобразования матриц (1.46) заключается в переносе конечных параметров вектора Y на место нулевых параметров вектора X. При этом вектор Y становится нулевым и исключается из рассмотрения. Матрица А обнуляется в отдельных столбцах и в нее вводятся элементы, компенсирующие перенос параметров. Вектор X содержит уже неизвестные начальные и конечные граничные параметры всех стержней системы, как это имеет место в методе граничных элементов [29,42,43,157]. [c.31] Таким образом, решение прямых задач механики линейных систем с помощью уравнений метода начальных параметров сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных начальных и конечных параметров стержней. [c.31] Процесс переноса конечных параметров вектора У на вектор X основан на следующем. Векторы Y, X любой линейной системы при граничном значении переменной х = будут содержать 3 группы граничных параметров. [c.31] Первая группа - это нулевые граничные парметры, что определяется заданными условиями опирания (краевыми условиями). [c.31] Вторая группа - это зависимые параметры, связь между которыми выражается уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов линейной системы. [c.31] Третья группа граничных параметров векторов Y, X никак не связаны между собой. Эти параметры условно могут быть названы независимыми. [c.31] что элементы матрицы А сдвигаются на место столбца, номер которого равен номеру строки нового положения параметра. Компенсирующие элементы равны произведению коэффициента при переносимом параметре на элементы матрицы А. При этом возрастает число компенсирующих элементов. Поэтому необходимо, по возможности, избегать переносов параметров внутри матрицы X. Достигается это формированием ориентированного графа линейной системы так, чтобы в узлах не сходились две и более начальных точек. Недостатком МКЭ является то, что для систем с больпшм числом стержней добиться этого невозможно и оптимальным будет такой ориентированный граф, при котором в каждом узле будут сходиться минимальное число начальных точек. [c.33] Для реализации МГЭ на персональном компьютере необходимо сформировать линейную систему алгебраических уравнений (1.40). Данная система имеет свои ярко выраженные особености, которые существенно отличаются от параметров систем методов сил, перемещений, МКЭ и других методов. [c.33] Матрица С характеризует топологию линейной системы и является инвариантной по отношению к видам расчета. Она составляется для определенного ориентированного графа только одни раз и далее может использоваться при формировании матрицы А в задачах статики, динамики и устойчивости. [c.34] При положительном ответе на эти вопросы можно утверждать, что нет препятствий для выполнения преобразований (1.46). Ответы на эти вопросы можно сформулировать в виде двух теорем. [c.35] Теорема 1. Для любой линейной системы с заданными краевыми условиями число нулевых начальных параметров матрицы X всегда равно (для систем с линейно неподвижными узлами) или больше (для систем с линейно подвижными узлами) числа независимых конечных параметров матрицы У. [c.35] Теорема 2. Для любой линейной системы с заданными краевыми условиями получается матрица с не нулевыми строками и столбцами, т.е. всегда существует вариант перестановки строк матрицы А, исключающий нулевые ведущие элементы. [c.35] Доказательство этих теорем осуществляется методом математической индукции [223]. Таким образом, схема преобразований матриц (1.46) всегда может быть выполнена, что подтверждается и многочисленными частными примерами расчета упругих стержневых, пластинчатых и оболочечных систем, приведенными в данной книге. [c.35] Вернуться к основной статье