ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точные решения для оценки погрешности алгоритма из "Расчет термонапряжений и прочности роторов и корпусов турбин " Постановка задачи. Обеспечение надежной работы программных комплексов для современных ЭВМ — одна из сложнейших научно-технических задач. Важной составной частью этой проблемы является разработка эффективных тестов. Актуальна также проблема влияния топологии сетки на точность результатов. Решение этой проблемы требует использования удобных для реализации, эффективных и точных решений. Число известных точных аналитических решений трехмерных краевых задач нестационарной теплопроводности и термоупругости невелико. При этом в большинстве случаев способ их представления (в рядах или в интегральной форме) вызывает затруднения при использовании в инженерной практике. Приведенные в параграфе формулы удобны для практического использования. С их помощью при заданных краевых условиях можно найти точное решение задачи при сложных законах изменения трехмерного поля температуры, моделирующего поля температур в роторах и корпусах турбин, в том числе в зонах конструкционной концентрации напряжений. [c.69] При численном решении прикладных краевых задач нестационарной теплопроводности, входящих в комплекс задач по исследуемой проблеме (см. рис. 1.1), необходимо учитывать сложную форму тела в целом, локальные возмущения его геометрии, влияние указанных в гл. 1 краевых условий на погрешность, в том числе при зависимости теплофизических свойств от температуры и пространственных координат, концентрации тепловых нагрузок. При решении таких задач, как правило, используют неравномерные сетки. [c.69] Физические задачи могут быть классифицированы по следующим признаком. [c.70] По мере необходимости вводят и дополнительные характеристики, например, L = L//, где L — расстояние между надрезами (концентраторами, трещинами). [c.70] При постоянном градиенте температур Pq = 0. Не следует определять Pq в области малых grad t (меньших, чем среднее значение градиента). [c.71] Параметры в первом приближении можно оценить, используя номограммы или результаты расчетов на простейших (одномерных) моделях исследуемых тел. [c.71] При задании идеальной теплоизоляции точные решения могут быть получены только для тел классической формы — параллелепипеда, цилиндра конечной длины, сферы. Для всех остальных случаев допускается произвольная форма тела. [c.72] Преимущество решений третьего класса по сравнению с первым и вторым классами состоит в более удобной реализации случаев с высокой концентрацией тепловых нагрузок. [c.72] При концентрации тепловой нагрузки только в малой области тела целесообразно использовать решения третьего класса. [c.72] Оценка погрешности математической модели процесса, включающая погрешность метода, алгоритма и программы, для рассматриваемой области трехмерных задач нестационарной теплопроводности проводится по первому — третьему классам точных решений. При этом на телах классической формы и точных решений первого класса выявляется влияние на погрешность решения неравномерности сетки при произвольном сочетании указанных граничных условий, а по второму классу — точных решений только при идеальной теплоизоляции. [c.72] Оценку погрешности конкретной численной модели рассматриваемой задачи проводят с помощью решений первого и третьего классов. При этом рассматривают один материал с постоянными свойствами и граничные условия, определяемые точными решениями. В случае резко неравномерных граничных условий и концентрации тепловых нагрузок используют решения третьего класса. [c.72] Не имея возможности определять погрешность решений прикладных задач с учетом всех факторов, оценивают погрешность этих решений на реальной сетке, а начальное поле температур и граничные условия выбирают наиболее близкими к реальным из допустимого класса точных решений. [c.72] Результаты оценки погрешности математической модели и конкретной численной модели в существенной мере определяются характером поля температур, варьирование которого возможно при изменении численных значений параметров точных решений . [c.73] Решения (2.15) и (2.16) с учетом условия (2.17) могут быть положены в основу определения погрешности численного решения для тела произвольной формы путем реализации специального приема, заключающегося в следующем. Решение уравнения (2.14) однозначно определено внутри рассматриваемого тела, если во все моменты времени температура на его поверхности задана. Пусть температура поверхности тела определяется выражением (2.15) или (2.16). Тогда точные решения во все моменты времени в расчетных точках, расположенных внутри тела, определены этими же выражениями. [c.73] При Пх = 1 реализуется регулярный режим остывания тела. При этом ось X параллельна наиболее длинной стороне параллелепипеда. [c.74] В формулах t — амплитуда начального (т = 0) возмущения — постоянная (физический смысл ее рассмотрен далее) Q — независимая от времени и координат температура наружной среды. [c.75] Эти условия III рода имеют место при всех значениях п (см. 2.19), кроме тех значений, когда п — целое число, т. е. выполняется условие идеальной теплоизоляции, или полуцелое число 2п — целые числа). В последнем случае получаем новый вид точных решений для параллелепипеда с температурой его поверхности, равной Q при краевых условиях I рода. При этом начальное условие определяется выражением (2.24), а точное решение — выражениями (2.16) и (2.18). [c.75] Решения второго класса. Приведем точное аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности, получаемое с учетом зависимости теплофизических свойств тела от температуры. [c.75] В уравнении (2.32) отсутствует независимая переменная под знаком дифференциала. [c.76] Это обычное уравнение нестационарной теплопроводности при постоянных теплофизических свойствах. [c.76] Вернуться к основной статье