ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полуограниченное тело из "Приближенный расчет процессов теплопроводности " Требуется найти температурное поле полуограниченного тела и количество переданной теплоты. [c.42] Задачу рассматриваем как одномерную, ибо при одинаковых условиях теплообмена на всей поверхности полуограниченного тела его температурное поле изменяется только вдоль одной координаты х. [c.42] В соответствии с методом исключения переменных заранее принимаем определенный закон распределения температуры в сечении полуограниченного тела. В результате из уравнений выпадает пространственная координата х, и решение задачи крайне упрощается. [c.42] По этой формуле можно рассчитывать температурное поле полуограниченного тела. Однако эта формула шока еще не является решением поставленной задачи, ибо найденная по ей температура должна быть связана со временем т. [c.43] Чтобы связать температуру со временем, необходимо составить соответствующее дифференциальное уравнение теплового баланса. При этом, очевидно, новое дифференциальное уравнение будет значительно проще, чем дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, поскольку оно специально приспособлено к решению данной задачи и не содержит пространственной координаты как независимой переменной. [c.43] Второе выражение определяет количество теплоты, аккумулированной телом за время dx. [c.43] Количество аккумулированной теплоты находится по формуле 39). Средняя температура входящая в эту формулу, вычисляется путем интегрирования уравнения, характеризующего распределение температуры в сечении тела. Соответствующее построение для средней температуры тела показано на рис. 18, где для конкретности в качестве температурной кривой взята парабола второго порядка (и = 2). [c.43] Здесь величину Хо можно выбирать произвольно, так как она в формуле сокращается. [c.44] Формула (100) устанавливает связь между величиной X и временем. Задавшись временем т, по формуле (100) находят величину X и затем с помощью выражения (99) вычисляют температуру в сечении тела. [c.44] Более точные результаты получаются, если задаться дробным значением показателя п. [c.45] Этим обозначением будем пользоваться в дальнейшем. [c.45] Формула (104) при различных значениях показателя п принимает следующий вид. [c.45] Ниже будет дана оценка точности полученных приближенных формул. [c.46] Таким образом, поставленная задача решена с помощью выведенных формул можно рассчитать температурное поле и количества переданной теплоты для по-луограниченного тела. Обращает на себя внимание большая простота выкладок, обусловленная применением метода исключения переменных (была исключена пространственная координата -посредством задания параболического закона распределения температуры в сечении полуогра-ниченного тела). [c.46] Требуется найти температурное поле и количество переданной теплоты для рассматриваемого полуограниченного тела. [c.46] При решении поставленной задачи используется следующий прием. Вначале предполагается, что температура поверхности равна нулю функция t = f x) распространяется и на отрицательные значения х (рис. 20) при этом принимается, что она представляет собой функцию нечетную, т. е. [c.46] Ввиду симметрии температурная функция в любой момент времени является нечетной, и поэтому на поверхности тела (х = 0) температура всегда остается равной нулю. Тел самым всегда выполняется граничное условие. [c.46] Убедиться в том, что выражение (107) является частным решением дифференциального уравнения (106), можно непосредственной подстановкой. [c.47] Формула (107) определяет кривую, имеющую сходство с кривой ошибок Гаусса. Эта кривая имеет в направлении х максимум, соответствующий значению х = . [c.47] Формула (108) представляет собой искомое решение подставленной задачи. [c.48] Вернуться к основной статье