ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волновой критерий устойчивости из "Проектирование и расчет динамических систем " Оценку устойчивости динамических систем, лежащих в районе границы устойчивости, позволяет провести волновой критерий устойчивости. При использовании этого критерия удается практически снять проблему точности счета. Критерий конструктивно прост и не требует большого объема вычислений. [c.29] Волновой критерий устойчивости имеет общее доказательство, и его с успехом можно использовать для определения устойчивости различных динамических систем. [c.29] Целесообразно пользоваться волновым критерием устойчивости при выполнении дополнительных необходимых условий устойчивости и невыполнении укороченной формы критерия Рауса—Гурвица. [c.29] Для пояснения физического смысла волнового критерия устойчивости его доказательство приводится не сразу в общем виде. Рассмотрению подвергаются последовательно системы четвертого, пятого и кратко шестого порядков. Затем доказательство проведено для системы п-го порядка. Сразу же заметим, что при доказательстве устойчивости везде будем иметь в виду положительность коэффициентов характеристического уравнения, и там, где это не оговорено специально, положительность подразумевается как обязательно выполняющееся условие. [c.30] Более подробно вопрос о замещающих системах уравнений рассмотрен в следующей главе. [c.30] 43) (О соответствует частотам, близким к собственным частотам системы. [c.30] Будем называть частоты со и со а первой и второй частотами волнового критерия устойчивости или первой и второй волновыми частотами. Эти частоты являются собственными частотами динамической системы при отсутствии в системе демпфирования. [c.32] Посмотрим, каким образом будут меняться производные координат системы (1.47) при устойчивых, неустойчивых и нейтральных динамических системах. [c.32] Вначале рассмотрим нейтральную динамическую систему, т. е. систему, находящуюся на границе устойчивости. [c.32] Условия (1.51) должны соблюдаться для обеих волновых частот. [c.32] Неравенство (1.55) приведено к критерию Гурвица. Следовательно, для устойчивой системы необходимо выполнение неравенства (1.57), которое, в свою очередь, доказывает справедливость для устойчивой системы неравенства (1.54), вычисленного при первой волновой частоте. [c.34] Для доказательства неравенств (1.66) и (1.67) рассмотрим годограф Михайлова системы пятого порядка (рис. 1.7). [c.36] Положение годографа при нулевой частоте определяет значение коэффициента а . При положительном коэффициенте значение годографа в точке с нулевой частотой будет всегда положительно. Положительность коэффициента оговорена в условиях (1.65). [c.37] Если преобразовать неравенство (1.70) подобно тому, как это было сделано для неравенства (1.69), то будет получено неравенство (1.67). Неравенство (1.67) обусловливает отрицательное значение вещественной части годографа при второй волновой частоте. [c.37] Значит, при положительном коэффициенте годограф вращается против часовой стрелки. Система устойчива. Возвращаясь к (1.65), отметим, что требование положительности коэффициента там имеет место. [c.38] На основании материала, изложенного выше, можно сформулировать волновой критерий устойчивости для динамических систем пятого порядка. [c.38] Для того чтобы динамическая система пятого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (1.65). [c.38] Следует сделать оговорку, что для волнового критерия можно обойтись без условий Oq 0. О, j О, Og 0. Однако условия положительности коэффициентов сразу отсекают неустойчивые системы с отрицательными коэффициентами, и поэтому здесь и далее будем их оставлять. [c.38] Вектор Михайлова имеет вращение против часовой стрелки. [c.40] Учитывая (1.80)—(1.83) и ранее сделанные замечания о положительности коэффициентов характеристического уравнения, сформулируем волновой критерий устойчивости для систем шестого порядка. [c.41] Вернуться к основной статье