ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Первая лекция. Введение из "Лекции по динамике " Предметом настоящих лекций будет исследование тех преимуществ, которые можно извлечь при интегрировании дифференциальных уравнений движения из особой формы этих уравнений. В Аналитической механике можно найти все, что касается задачи составления и преобразования дифференциальных уравнений, но для их интегрирования сделано очень мало. Упомянутая задача едва поставлена единственно, что можно к этому отнести, есть метод вариации постоянных — метод приближений, который покоится на особенной форме дифферепциальных уравнений, встречающихся в механике. [c.5] Среди больпюго количества задач, ставящихся в механике, мы будем рассматривать только те, которые относятся к системе п материальных точек, т. е. п тел, размерами которых можно пренебречь и массу которых предполагают находящейся в центре тяжести. Далее мы будем рассматривать только те задачи, при которых движение зависит только от взаимного расположения точек, а не от их скорости. Благодаря атому исключаются все задачи, при которых принимается в расчет сопротивление. [c.5] Я присоединил новый принцип механики, который согласуется с принципами сохранения живой силы и сохранения площадей в том отношении, что тоже дает интеграл, но в остальном он совершенно другой природы. Во-первых, он является более общим, чем они, так как он имеет место всякий раз, когда дифференциальные уравнения содерясат одни координаты во-вторых, в то время, как те принципы дают первые интегралы в форме функция от координат и их производных равна некоторой постоянной, т. е. [c.5] Особенно надо отметить те классы задач, для которых одновременно имеют место принцип живой силы и принцип наименыпего действия. Гамил .-тон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются тотчас все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением в частных производных, Гамильтон называет характеристической функцией. [c.6] Прекрасное соотношение, найденное Гамильтоном, было несколько недоступно и туманно, вследствие того, что он свою характеристическун функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнение в частных производных. Присоединение этого условия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное исследование показывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно излишне. [c.6] Мы введем для определенности следующие термины интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем называть интегралами или интегральными уравнениями, интегралы же уравнений в частных производных— решениями. Далее, для системы дифференциальных уравнений мы будем различать интегралы и интегральные уравнения. Интегралами пусть будут те первые интегралы, которые имеют форму функция от координат и их производных равна постоянной, и ее производная при использовании данной системы дифференциальных уравнений обращается тождественно в нуль без помощи других интегралов интегральными уравнениями называются все остальные интегралы. Таким образом принципы живой силы н площадей дают в этом смысле интегралы, а не интегральные уравнения. [c.6] Принцип сохранения живой силы охватывает большой класс задач, к которым в частности принадлежит задача трех тел или более общая задача движения п тел, которые взаимно притягиваются. [c.7] Более глубокое изучение дифференциальных уравнений механики показывает, что число интегрирований всегда может быть сведено к половине первоначального их числа, в то время как вторая половина заменяется квадратурами. Суш,ествует замечательная теорема, которая показывает, что между интегралами имеет место качественное различие. Именно, в то время как некоторые интегралы имеют значение только как квадратуры, существуют другие, которые содержат в себе все остальные. [c.8] Эта теорема формулируется следуюпщм образом Если, кроме интеграла, данного принципом живой силы, известны еш,е два интеграла уравнений динамики, то из этих двух можно получить третий . Примером тому служат так называемые теоремы площадей относительно трех координатных плоскостей если две из них имеют место, то третья выводится из них. [c.8] Если по приведенной общей теореме из двух интегралов найден третий, то из этого последнего и одного из прежних находится четвертый и т. д. пока не вернемся к одному из данных. Существуют интегралы, которые при этой операции исчерпывают всю систему интегральных уравнений, в то время как для других цикл замыкается раньше. Смысл этой основной теоремы, известной уже в течение 30 лет, был в супщости скрыт. Она была открыта Пуассоном и была также известна Лагранжу, который пользовался ею как вспомогательной теоремой во второй части Аналитической механики появившейся только после его смерти. ) Но этой теореме придавалось всегда совершенно иное значение она должна была только показывать, что в некотором разложении известные члены не зависят от времени, и увидеть в ней ее теперешнее значение было не так легко. В этой теореме заложен в то же время фундамент для интегрирования дифференциальных уравпетшн в частных производных первого порядка. [c.8] Выражение U названо Гамильтоном силовой функцией. Частная производная этого выражения по какой-нибудь координате одной из рассматриваемых п масс дает силу, действуюш,ую в направлении этой координаты, силу, с которой эта масса притягивается всеми прочими. [c.12] В теории приведения дифференциальных уравнений движения к одпому дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка всегда имеют дело с силовой функцией, поэтому введение ее имеет чрезвычайно большую важность. Предварительно мы сможем очень хорошо ее использовать для сокращенного изображения уравнений. [c.12] Интересно выяснить, — на сколько можно расширить границы рассматриваемых механических задач, не отказываясь от введения силовой функции. [c.12] В атом уравнении, как и в предыдущем, надо рассматривать 8х ,. [c.13] Таким образом, доказано выше данное правило для подстановки новых переменных. В преобразованном уравнении снова надо рассматривать как-независимые друг от друга величины, и тогда преобразованное символическое уравнение распадается на только что данную систему Зи уравнений. [c.15] Вернуться к основной статье