ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее уравнение кручения из "Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов " Рассмотрим цилиндрический стержень, обладающий прямолинейной анизотропией, считая, что в каждой точке имеется плоскость симметрии, нормальная к оси стержня. В этом случае число независимых коэффициентов деформации, входящих в уравнения закона Гука, равно 13. Обозначим эти коэффициенты через а,у и будем считать их непрерывными дважды дифференцируемыми функциями XVL у. [c.74] Уравнение (15.6) совместно с условием (15.7) и является основным уравнением кручения. Из (15.6) легко получить различные частные случаи. [c.76] для ортотропного стержня при осях координат, нормальных к плоскостям упругой симметрии. [c.76] В таком виде оно было получено И. А. Биргером в [14], а также в работах [169, 196, 209, 219, 220]. [c.76] В [235] решение уравнения (16.8) строится методом конечных элементов. С. Г. Лехницким получены точные решения для ортотропного конического стержня, а также для цилиндрического стержня, скручиваемого усилиями, распределенными по боковой поверхности [76]. В обоих случаях принята степенная зависимость модуля сдвига от координат. [c.79] Лехницким в [77]. Им же получены аналитические решения, приведенные в настоящем параграфе. [c.80] Очевидно, что оно удовлетворяет условиям ф=0 при х=0 и х=а. [c.80] При произвольных Gi и Сг решение (17.4) неизвестно, и его можно получить каким-либо приближенным способом. Укажем, в частности, три возможных подхода для построения приближенного решения. [c.81] Во-первых, его можно найти конечно-разностным методом, воспользовавшись любой из его известных модификаций. [c.81] Очевидно, что эти два подхода наиболее эффективны в случае использования ЭЦВМ. [c.82] Для некоторых частных случаев неоднородности оказываются возможными точные решения уравнения (17.3), к рассмотрению которых мы и обратимся. [c.82] Отметим, что при n=0, т. e. для ортотропного однородного стержня, и при /г = 0 и i= 2, т. е. для изотропного однородного стержня, формулы (17.11) и (17.12) переходят в известные выражения [72, 138]. [c.84] Знак для N выбирается так, чтобы было Л 0. Решение уравнения (17.14) выражается через модифицированные функции Бесселя. [c.85] Решение задачи о растяжении (сжатии) и чистом изгибе неоднородного стержня продольной силой легко может быть получено в результате обобщения известного решения для составных стержней. [c.87] Рассмотрим изотропный стержень, для которого v = = onst, а = о11з(л , г/). Начало координат выберем в центре тяжести приведенного сечения (см. 3), взяв за оси X тл. у главные оси инерции этого сечения. Пусть продольная сила Р приложена в начале координат. [c.87] Легко видеть, что выражения (18.3) удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности. Выполняются и граничные условия. [c.87] Таким образом, (18.3) есть решение поставленной задачи. Необходимо отметить, что в случае чистого изгиба справедлива гипотеза плоских сечений. [c.88] Более общий случай растяжения и изгиба рассмотрен Е. Соосом [226] и С. Г. Лехницким [79]. В этих работах изучалось распределение напряжений в цилиндрическом ортотропном стержне, коэффициенты деформации которого являются функциями г и 0 (задача решается в цилиндрических координатах). [c.88] G — модули Юнга, коэффициенты Пуассона и модули сдвига, для координатных направлений г, 0, z, указанных индексами. [c.89] Таким образом, при чистом изгибе и растяжении в анизотропном цилиндре имеет место сложное напряженное состояние. [c.90] Вернуться к основной статье