ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения задач теории упругости неоднородных тел из "Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов " Можно выделить пять основных направлений, отчетливо прослеживающихся в исследованиях по теории упругости неоднородных тел. [c.39] Первое из них характеризуется попытками построения общих решений основных уравнений при весьма незначительных ограничениях на характер неоднородности. По существу этот подход состоит в обобщении известных решений типа Галеркина, Нейбера—Папковича—Грод-ского, Лява, Колосова—Мусхелишвили и др. на задачи теории упругости неоднородных тел. [c.39] Раду в работах [211, 213] и других удалось обобщить метод Колосова—Мусхелишвили на некоторые случаи плоской задачи. Близкие результаты получены в [187], Имеются попытки сведения рассматриваемых задач к решению интегральных уравнений [170, 238, 239], Из работ общего характера, примыкающих к этому направлению, отметим статьи В. М. Бабича [5], С. Г. Мих-лина [94, 95, 96], а также [159, 186, 194, 196, 208]. [c.39] Как отмечает акад. Н. И. Мусхелишвили [100], так называемые общие методы дают (в общем случае) только теоретическое решение, т. е. в конечном счете доказывают лишь существование его . Использование этих результатов при решении конкретных инженерных задач встречает, к сожалению, значительные трудности. [c.39] Шевченко [152, 157] построено общее приближенное решение осесимметричной пространственной задачи при экспоненциальной зависимости модуля упругости от координат. [c.39] Новинским в [201] дано доказательство теоремы Бетти—Релэя на случай тел со свойствами, зависящими от температуры. [c.39] Особо следует выделить большую группу работ этого направления, посвященных контактным (смешанным) задачам, поскольку они сводятся обычно к интегральным уравнениям различного типа. Обзоры этих исследований составлены Б. Л. Абрамяном [1], Н. А. Ростовцевым н Г. Я. Поповым [142], В. Л. Рвачевым [127]. Вопросы изгиба плит на неоднородном основании обобщены в обзорах [134, 142]. Эти обстоятельства позволили исключить указанные задачи из детального рассмотрения в настоящей книге. [c.40] Точные решения, использующие специальные виды неоднородности, представляют интерес по двум причинам. Во-первых, они могут быть применены для оценки приближенных методов решения более сложных задач. Во-вторых, учитывая точность определения функции, описывающей неоднородность тела, можно в пелом р.яде случаев аппроксимировать ее выражением, позволяющим построить замкнутое решение задачи, удобное для практического использования. [c.40] Там же отмечено, что существует класс неоднородностей, для которых напряженное состояние тел одинаковой формы при одинаковой нагрузке идентично. [c.41] Лехницким в [73] найдены функции распределения упругих постоянных, при которых в клине и полуплоскости имеет место радиальное распределение напряжений. Это решение дополнено Н. А. Ростовцевым [131], которым также показано, что в трехмерной среде радиальное распределение напряжений невозможно. [c.41] В статье [55] сформулированы условия, которым должно удовлетворять распределение модуля упругости в неоднородной по высоте полосе, чтобы напряжения не зависели от коэффициента Пуассона, принятого постоянным. [c.41] В работе [80] им же рассматривается осесимметричная задача о полом изотропном цилиндре, нагруженном осевой силой, а также внутренним и внешним давлением. Предполагается, что модуль упругости изменяется по радиусу цилиндра г и вдоль его оси 2. Считая, что Е г, г) = =E/.(r)Ezi2), автор находит такие выражения для Е и Ег, при которых напряженное состояние цилиндра будет осесимметричным. Полученные результаты обобщаются также на случай цилиндрической анизотропии. [c.42] Интересной представляется работа Б. Клосовича [190], являющаяся развитием идей В. Ольшака, где сформулировано уравнение, которому должна удовлетворять функция изменения модуля упругости в толстостенной концентрической неоднородной по радиусу сферической оболочке под внутренним давлением, при условии минимума некоторого интегрального критерия качества. Им же был рассмотрен случай, когда отыскивается неоднородность, обеспечивающая минимальное перемещение поверхности сферы. [c.42] Четвертое направление объединяет работы, в которых используются различные приближенные методы. Их можно разделить на пять групп. В первую входят исследования с применением конечно-разностных методов в их различной трактовке. Так, например, в [4, 31, 33, 145, 169, 171, 182, 235] исходные дифференциальные уравнения заменяются разностными с последующим решением полученной системы алгебраических уравнений на -ЭЦВМ. В ряде случаев целесообразно предварительно свести задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое затем решается численно [53, 57]. Возможно также использование методов конечных элементов [133] и коллокаций [8, 104, 105]. Здесь необходимо отметить, что, кроме изучения сходимости этих методов, следует иметь в виду устойчивость вычислительного процесса [6]. Как показывают последние исследования, это условие является весьма существенным при реализации численных методов на ЭЦВМ. [c.42] Третью группу составляют работы, в которых решение строится методом малого параметра. В общем виде такой подход с доказательством сходимости рассмотрен в [1,93]. Различные конкретные задачи решались таким путем в [8, 63, 102, 148, 218, 219, 220, 237]. Допущение о малости параметров, входящих в функцию, описывающую неоднородность тела, существенно использовано в [30, 92, 161] для построения асимптотических решений. [c.43] В четвертой группе исследований неоднородное тело рассматривается как состоящее из отдельных слоев с постоянными механическими характеристиками. Этот метод иногда называют методом аппроксимации [124], или расчленения [140]- Одной из первых работ этого направления была статья [192]. Он применялся также в [56, 84, 85, 86, 150, 168, 185, 186]. [c.43] наконец, пятый подход заключается в использовании итерационного метода. Первой работой в этом направлении была, по-видимому, статья [204], где исследовалось напряженное состояние неоднородной прямоугольной полосы. М. Мишику и К. Теодосиу в [98] дали изложение его в терминах теории функций комплексного переменного применительно к плоской задаче. Более общий вариант итерационного метода предложен в [62]. Суть его состоит в следующем. [c.43] Р — заданные функции (температура, объемные силы и т. д.). [c.44] Таким образом, задача теории упругости для неоднородного тела с помощью представления (5.4) сводится к последовательному решению ряда задач классической теории упругости. Следует отметить, что изложенный метод в известном смысле аналогичен методам дополнительных сил и дополнительных перемещений в теории пластичности [15, 87, 124]. [c.45] Предлагаемая методика обладает, на наш взгляд, рядом достоинств. Во-первых, на каждом этапе итерационного процесса можно использовать методы классической теории упругости, которые для решения ряда задач, особенно плоских, хорошо разработаны. Во-вторых, если на каждом этапе решение строится по одной и той же методике, то оказывается возможной эффективная реализация метода на ЭЦВМ с использованием одной стандартной программы и числом циклов, обеспечивающим необходимую точность. Третьим преимуществом является возможность выявления качественно новых эффектов, что не всегда удается при использовании прямых методов [43]. В этом случае решение Uo можно рассматривать как основное, а ы,- — как поправки к нему, обусловленные неоднородностью тела. И, наконец, в отличие от предложений [98] и [204] изложенный метод применим не только для плоских задач, но и для пространственных, а также в случае анизотропных тел. Ниже на конкретных примерах будет проиллюстрирована эффективность итерационного метода. [c.45] Вернуться к основной статье