ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Лагранжа из "Динамика переходных процессов в машинах со многими массами " Наиболее удобным и простым методом решения задач динамики системы материальных точек с наложенными связями, иначе говоря несвободной системы, является применение уравнений Лагранжа. [c.31] Основная идея этих уравнений заключается в том, что движение системы исследуется в обобщенной системе координат, т. е. в независимых один от другого параметрах, изменение которых определяет движение системы. Число этих параметров равно числу степеней свободы системы и соответственно числу уравнений Лагранжа. [c.31] Уравнения Лагранжа дают возможность сравнительно просто составлять дифференциальные уравнения движения любой сложной колебательной системы, если ее связи являются голономными, т. е. такими, уравнения которых не содержат производных координат по времени. Для получения дифференциальных уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа необходимо составить только выражения для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных координат. При этом сами координаты носят название обобщенных координат. [c.31] Обобщенные координаты, так же как и декартовы, являются независимыми величинами, вполне определяющими положение системы. Разница между обобщенными и декартовыми координатами состоит также в том, что первые могут иметь измерение длины, отвлеченного числа, площади, угла и других параметров, наиболее удобных в данном конкретном случае, тогда как декартовы координаты имеют только измерение длины. [c.31] При изучении колебаний за обобщенные координаты обычно принимают измерение длины, если система работает на растяжение и сжатие, и измерение угла, если система совершает колебания кручения. или, как принято называть, крутильные колебания. Обобщенная координата, в свою очередь, определяет понятие об обобщенной силе. [c.31] Размерность обобщенной силы полностью определяется написанным уравнением. [c.31] Если за обобщенную координату принимается линейное перемещение X, имеющее измерение длины, то размерность обобщенной силы соответствует размерности силы при обобщенной координате, равной углу закручивания какой-либо массы системы, за обобщенную силу принимается крутящий момент, так как только произведение момента на величину изменения угла соответствует работе. [c.32] Состояние сложной колебательной системы с несколькими массами определяется, естественно, несколькими обобщенными коо )дииатами. Число обобщенных координат соответствует числу степеней свободы колебательной системы. Следовательно, количество уравнений Лагранжа должно быть равно числу степеней свободы. [c.32] Перейдем к выводу уравнений Лагранжа. Уравнения движения для свободной материальной точки в декартовых координатах обычно записываются в следующем виде. [c.32] Для полного определения движения системы нужно составить и совместно разрешить столько таких уравнений, сколько материальных точек содержит рассматриваемая система, т. е. Зп уравнений. [c.32] Если система материальных точек находится в равновесии, то работа всех сил на любых малых перемещениях, при которых не нарушаются связи, наложенные на систему, равна нулю. [c.32] Такое перемещение материальных точек системы в механике называется возможным. [c.32] Согласно принципу Даламбера, задачи динамики могут сводиться к задачам статики, если к действительно действующим силам присоединить условно вводимые силы инерции. Приняв это условие и составив уравнения равновесия, т. е. уравнения статики, можем получить дифференциальные уравнения движения системы материальных точек (18). [c.32] Для всех п частиц системы уравнение равновесия будет иметь вид. [c.32] Это уравнение, показывающее, что сумма элементарных работ данных сил и сил инерции равна нулю на возможном перемещении системы, носит название—общего уравнения динамики. [c.33] Ограничимся рассмотрением голономных систем. Система называется голономной, если связи выражаются конечными соотношениями, т. е. соотношениями, не содержащими производных по времени. [c.33] Для этого случая система обладает к = 3п — к степенями свободы. [c.33] Таким образом, имеется к произвольных вариаций, а остальные к вариаций выражаются через первые в силу наличия к связей. [c.33] С другой стороны, согласно приведенному выше определению (17), что произведение из величины обобщенной силы Q на возможное перемещение соответствующей обобщенной координаты дает в результате работу, т. е. [c.37] Уравнения (38) называются уравнениями Лагранжа второго рода. [c.37] Вернуться к основной статье