ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрия поверхности из "Механика тонкостенных конструкций Статика " Каждой паре чисел а, р в области определения г (а, р) соответствует на поверхности фиксированная точка, координаты которой определяются формулами (4.15). [c.216] При непрерывном изменении параметров а, р соответствующая точка движется по некоторой линии на поверхности. В частности, если зафиксировать величину р и менять а, то точка будет двигаться по а-л и н и и. При а — onst и изменении р точка движется по Р-л и н и и. [c.216] Тройка единичных векторов ti, tj, п, связанная с точкой срединной поверхности оболочки, представляет собой локальный векторный базис, к которому относят перемещения и внутренние силы в оболочке. [c.216] Косинусы углов, составляемых касательной к кривой и координатными линиями, определяются скалярными произведениями, т. е. [c.216] Вычислим теперь кривизну линии на поверхности, заданной уравнением (4.18). [c.217] Напомним, что вектор равный кривизне рассматриваемой линии, направлен по главной нормали к ней в сторону вогнутости (см. рис. 4.3). [c.217] Спроектируем этот вектор на направление нормали к поверхности, для чего умножим скалярно выражение (4.23) на вектор нормали п. [c.217] Выражение в прямых скобках, входящее в (4.24), называется второй квадратичной формой поверхности, а L, М и Л/— коэффициентами второй квадратичной формы. [c.218] Нетрудно видеть, что правая часть равенства (4.24) зависит для данной поверхности г (а, Р) только от направления касательной к кривой на поверхности [см. формулы (4.20)] и для всех кривых, имеющих общую касательную, одинакова. [c.218] Поэтому из всех таких кривых наименьшую (по абсолютной величине) кривизну имеет та, главная нормаль к которой (v) совпадает с нормалью к поверхности (п), так как в этом случае os p = 1. В частности, такая кривая может быть получена при пересечении поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к ней. [c.218] Формула (4.32), устанавливающая зависимость кривизны линии произвольного нормального сечения от угла т), аналогична известной формуле для момента инерции плоской фигуры относительно наклонной оси. [c.219] Направления, определяемые формулой (4.33), называют г л а в-ными направлениями, а экстремальные значения кривизны нормального сечения в данной точке — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Линии на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными направлениями, называют линиями кривизны. [c.219] Линии кривизны образуют ортогональную сеть на поверхности. [c.219] В зависимости от знака гауссовой кривизны все поверхности делятся на поверхности положительной (например, сфера), нулевой (например, цилиндр) и отрицательной (седлообразная поверхность) кривизны. Разные области одной и той же поверхности могут иметь кривизну разного знака. Так например, внешняя часть поверхности тора (рис. 4.5) имеет положительную, а внутренняя — отрицательную кривизну. На линиях, разграничивающих эти части (линия А на рис. 4.5), гауссова кривизна равна нулю. Такие линии называют асимптотическими. [c.220] Пример 4.1. Рассмотрим геометрию поверхности вращения. Зададим форму меридиана поверхности в параметрическом виде, выбрав в качестве параметра длину дуги S меридиана, отсчитываемую от некоторой начальной параллели (или от полюса) (рис. 4.6, а) г г (s) Z=Z(s). [c.221] В качестве координат точки на поверхности а, Р выберем ту же координату s, определяющую положение точки на меридиане, и угол ф, составляемый данной и меридиональной плоскостью о начальной, т. е. а = s р = ф. [c.221] Декартовы координаты произвольной точки М на поверхности х = г (s) os ф д — г (s) sin ф Z = 2 (s). [c.221] Проделанные в рассмотренном примере выкладки лишь указывают общий путь расчета. Те же результаты в этом случае проще получить непосредственно. В самом деле, ортогональность меридианов (а) к параллелей (Р) на поверхности вращения очевидна. Так как любая меридиональная плоскость есть плоскость симметрии поверхности, то меридианы (а значит и параллели) являются также линиями кривизны. [c.222] Это означает, что для поверхности вращения радиус кривизны сечения, нормального к меридиану, равен отрезку нормали, соединяющему, данную точку с осью симметрии (отрезок КМ Рис. 4.7 на рис. 4.7). [c.223] Вернуться к основной статье