ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гипотезы и основные зависимости из "Механика тонкостенных конструкций Статика " В основе расчета пластин на изгиб лежат гипотезы Кирхгоффа. Согласно первой из этих гипотез предполагается, что материальный элемент ОМ (рис. 1.2), до деформации нормальный к срединной плоскости пластины, после деформации остается прямолинейным и нормальным к изогнутой срединной поверхности. Эта гипотеза, аналогичная гипотезе плоских сечений в теории изгиба балок, позволяет связать перемещения любой точки в массиве пластины с перемещениями точек срединной поверхности. Согласно второй гипотезе Кирхгоффа нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной плоскости, предполагаются малыми по сравнению с напряжениями а , а у в перпендикулярных площадках. [c.9] Гипотезы Кирхгоффа ограничивают приложимость теории только к тонким пластинам, т. е. пластинам, толщина которых h мала по сравнению с наружным радиусом R h/R 0,2). [c.9] Выведем основные зависимости, определяющие деформации и напряжения в пластине. [c.10] Перемещение точек срединной поверхности w будем считать положительным, если оно направлено в положительном направлении оси 2. Угол поворота нормали к срединной поверхности О будем считать положительным, если точки пластины г г О удаляются от оси симметрии (см. рис. 1.2). [c.10] Из формул (1.3) и (1.4) следует, что радиальные и окружные деформации меняются по толщине пластины по линейному закону Рассмотрим напряжения, действующие в площадках, ограничивающих бесконечно малый элемент, вырезанный из пластины на расстоянии г от срединной плоскости (рис. 1.3, а). Радиальные сечения представляют собой плоскости симметрии, поэтому в них возникают только нормальные напряжения а2- В цилиндрических сечениях имеются как нормальные (а ), так и касательные (т) напряжения. Поскольку было принято, что нормальные напря жения Oj в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы, в этих сечениях существенны только касательньк напряжения (равные по закону парности напряжениям т в цилин дрических сечениях). [c.11] Определим моменты и силы в окружном и радиальном сечениях пластины, отнесенные к единице длины сечения срединной плоскости. [c.12] Рассмотрим равновесие элемента пластины, ограниченного двумя парами радиальных и окружных сечений. Так как внутренние силы приведены к срединной плоскости, достаточно рассматривать соответствующий элемент срединной плоскости (рис. 1.4, а). Кроме показанных на рисунке внутренних сил, к элементу приложена внешняя распределенная нагрузка q (г). Эта нагрузка считается положительной, если она направлена в сторону положительных значений г и, следовательно, положительных прогибов W. [c.13] Полученные выше уравнения составляют основу расчета пластин. [c.14] Если пластина сплошная (т. е. без отверстия в центре), то вместо граничного условия на внутреннем контуре используют условие ft г=о =0. [c.15] Для определения прогибов w следует проинтегрировать уравнение (1.1). При этом постоянную интегрирования находят из условия равенства нулю прогиба на закрепленном контуре пластины. После определения угла поворота можно по формулам (1.6) найти изгибающие моменты и по формулам (1.8), (1.9) нормальные напряжения ст , Касательные напряжения т в тонких пластинах обычно существенно меньше нормальных, и при расчете на прочность их не учитывают. [c.15] При необходимости касательные напряжения могут быть определены из условий равновесия элемента толщиной rfz, изображенного на рис. 1.6. [c.15] Первое слагаемое в этом уравнении определяет распределение касательных напряжений в пластине постоянной толщины, а второе соответствует дополни-тельньш, самоуравновешенным напряжениям, возникающим вследствие переменной толщины пластины. [c.17] Выбор рационального способа решения дифференциального уравнения (1.14) зависит от закона изменения толщины пластины. [c.17] Для пластин постоянной толщины можно получить простое аналитическое решение (см. 2). [c.17] В общем случае изменения толщины пластины целесообразно использовать числовые методы расчета, рассмотренные в 4. [c.17] Вернуться к основной статье