ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение основного уравнения для прямоугольных пластин из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Уравнение в частных производных с переменными коэффициентами не удается проинтегрировать в общем виде, но для нескольких практически важных случаев уравнение (4.33) допускает точное решение. [c.151] Сначала рассмотрим простейший из таких случаев — устойчивость удлиненной пластины, равномерно сжатой в поперечном направлении (рис. 4.8, а). Граничные условия вдоль удлиненных сторон произвольны, но неизменны вдоль всей пластины. Размеры пластины в продольном направлении считаем настолько большими, что условия закрепления коротких сторон пластины не играют никакой роли (ниже дана оценка той длины пластины, начиная с которой можно пренебречь влиянием закреплений коротких сторон пластины). [c.151] Для прямоугольной пластины с конечным отношением сторон основное линеаризованное уравнение (4.33) допускает точное решение при следующих условиях. [c.153] Граничные условия при х = О и х = а 1) ш = 0 2) = 0. [c.153] Здесь штрихом обозначено дифференцирование по у. [c.154] Решение этого однородного уравнения с постоянными коэффициентами не составляет принципиальных трудностей. Заметим, что аналогичное уравнение встречалось при исследовании устойчивости прямых стержней, связанных с упругим основанием (см. 15). [c.154] Подчиняя это решение четырем однородным граничным условиям (по два граничных условия на каждой из сторон пластины, параллельных оси л ), получаем систему четырех однородных линейных уравнений относительно четырех неизвестных Л . Равенство нулю определителя этой системы приводит к уравнению, дающему возможность найти собственные значения задачи. Перебирая различные числа полуволн п, находим то из них, которое приводит к наименьшему собственному значению задачи. Оно будет критическим. Рассмотрим подробнее несколько частных случаев. [c.154] Заметим, что неравенство (4.42) может не выполняться только в тех редких случаях, когда края пластины, параллельные оси х, соединены с более слабыми сжатыми элементами. Например, неравенство (4.42) может не выполняться для пластины, один край которой свободен, а другой соединен с более тонкой пластиной, сжатой в направлении оси х. [c.155] Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем + Р ) sin а Ь sh Р 6 = 0. [c.156] При (Зч-4) коэффициент Ка практически перестает изменяться с ростом отношения тогда можно принять Ка = 4. [c.158] В такой же последовательности с использованием зависимости (4.43) решают задачи устойчивости пластин при любых других вариантах закрепления краев у = Оиу=Ьв том числе и при упругом закреплении, при условии, что по краям д = О и д = а пластина свободно оперта, выполняется неравенство (4.42) и = = О, Т2 = onst, Т°у = onst. Окончательные расчетные формулы имеют вид (4.46), но коэффициенты Ка в этих формулах иные. На рис. 4.11 приведены зависимости коэффициентов Ка для основных вариантов закрепления краев пластины. Следует отметить, что при неподвижно закрепленных относительно поперечного прогиба W краях пластины коэффициент Пуассона [х не входит в граничные условия. Поэтому коэффициенты Ка не зависят от Но для пластин с одним свободным краем (две нижние кривые на рис. 4.11) коэффициент Пуассона непосредственно фигурирует в граничных условиях. Поэтому для пластин со свободным краем коэффициенты Ка зависят от р, и, приводя конкретные числовые значения этих коэффициентов, следует указывать, для каких значений [X они получены. [c.158] ТОЛЬКО вместо представления решения в виде (4.43) нужно пользоваться общим решением уравнения (4.41). [c.159] При других граничных условиях решение получается значительно более громоздким, но результаты качественно аналогичны полученным выше для пластины с конечным отношением сторон при сжатии в одном направлении уменьшаются критические усилия в другом направлении, а для удлиненных пластин сжатие в продольном направлении не влияет на критические усилия сжатия в поперечном направлении. [c.161] Потеря устойчивости происходит по форме х, у) = 21 sin Sin . [c.162] Подобный анализ нетрудно провести и для любого другого отношения сторон пластины и при любых соотношениях между сжимающей и растягивающей нагрузками. Во всех случаях для пластин с конечным отношением сторон при растяжении в направлении одной оси увеличиваются критические значевия сжимающей нагрузки в направлении другой оси. Исключенйе составляет случай потери устойчивости пластины по развертывающейся поверхности (удлиненная пластина и пластина с двумя свободными краями). При этом растягивающие усилия не влияют на критические сжимающие усилия и при любых растягивающих усилиях можно пользоваться формулой (4.38). [c.162] Результаты решения двух последних задач можно объединить одним графиком, дающим критические сочетания как сжимающих, так и растягивающих усилий и qy. Для квадратной пластины такой график приведен на рис. 4.12, б. Участки прямых, показанные сплошной линией характеризуют критическое сочетание безразмерных усилий qx и qy, ломаная линия, состоящая из этих участков, ограничивает область устойчивости рассматриваемой пластины при комбинированном нагружении усилиями и qy (см. 6). Величины ( л )кр и (( у)кр равны критическим нагрузкам при сжатии в направлении оси х или у и определяются формулой (4.46) при Ка = 4. [c.162] Аналогичный график нетрудно построить при любых других отношениях сторон прямоугольной пластины. В результате получится ломаная линия, дающая критические сочетания q и qg и, следовательно, отделяющая область устойчивости пластины от области неустойчивости. Начало координат принадлежит, конечно, к первой из этих областей. [c.162] Вернуться к основной статье