ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основное линеаризованное уравнение и его решение из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " В предыдущих главах решено несколько частных задач устойчивости прямых стержней. В этом параграфе дан вывод обш,его линеаризованного уравнения для произвольно нагруженного упругого прямого стержня переменного поперечного сечения, сформулированы граничные условия и приведены примеры точного и приближенного решения этого уравнения. [c.78] Представим стержень в системе прямоугольных координат, как показано на рис. 3.1, а, причем примем, что одна из главных центральных осей поперечного сечения стержня лежит в плоскости ху. [c.78] Линеаризованное уравнение изгиба стержня в плоскости ху получим при следуюш.их допуш,ениях. [c.78] В силу первого допущения возможна прямолинейная исходная форма равновесия нагруженного стержня. При достаточна малых нагрузках прямолинейная форма равновесия является единственной и устойчивой. Определим условия, при которых возможны формы равновесия стержня с изогнутой осью, смежные с исходной прямолинейной формой. [c.79] Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по х. [c.79] В силу четвертого допуш,ения и последнего уравнения внутренний изгибающий момент М и внутренняя поперечная сила Q связаны с прогибом такими же зависимостями, как и при обычном поперечном изгибе М = Q = EJb ), где EJ = EJ (л) — из-гибная жесткость стержня в плоскости ху. [c.80] Слагаемое (Q0 ) = [ EJv ) v V следует исключить из уравнения (3.2) как содержащее произведение двух величин первого порядка малости. Тогда это уравнение не будет отличаться от уравнения равновесия неискривленного элемента стержня (3.1). Следовательно, при бесконечно малых поперечных прогибах начальное осевое усилие остается неизменным с точностью до величин второго порядка малости. [c.80] Это линейное однородное уравнение четвертого порядка является основным уравнением теории устойчивости прямых упругих стержней. Оно применимо при любых законах изменения жесткости EJ (х), при любых нагрузках и условиях закрепления, охватываемых сформулированными выше допущениями. [c.80] Таким образом, определение условий существования изгибных форм равновесия первоначально прямолинейного стержня свелось к решению задач на собственные значения. Для того чтобы найти условия существования изгибных форм равновесия, смежных с исходной прямолинейной формой, необходимо найти значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение (3.4 ) при однородных граничных условиях имеет нетривиальные решения (см. приложение I). [c.81] Рассмотрим граничные условия в задачах устойчивости прямых стержней. Геометрические граничные условия в задачах устойчивости формулируются так же, как и в задачах поперечного изгиба балок на торце стержня могут быть запрещены поперечное перемещение v, поворот касательной v или и то и другое одновременно. [c.81] Силовые граничные условия для ненагруженного торца аналогичны силовым граничным условиям задач поперечного изгиба. Если поперечные перемещения на торце не стеснены, то поперечная сила равна нулю, т. е. Q = (EJv ) = 0. Когда углы поворота не стеснены, изгибающий момент равен нулю, т. е. М = EJv = 0. На свободном торце и поперечная сила, и изгибающий момент обращаются в нуль. [c.81] Как отмечалось, для однопролетного стержня должны быть заданы четыре граничных условия. Подставив в них общее решение (3.7), получим систему четырех однородных линейных уравнений относительно четырех неизвестных Л,-. Из условия равенства нулю определителя этой системы можно найти собственные значения задачи Р и соответствующие им собственные функции. Наименьшее из собственных значений дает критическое значение нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. [c.83] Изложенную схему решения используем, например, для определения критической силы и формы изогнутой оси при потере устойчивости стержня, изображенного на рис. 3.4. [c.83] Для рассматриваемой конкретной задачи, как и вообще для задач устойчивости, непосредственный практический интерес представляет только первое собственное значение, дающее значение критической силы, и первая собственная функция, описывающая форму потери устойчивости. Остальные собственные функции могут быть полезны для построения приближенных решений более сложных задач с теми же граничными условиями. [c.84] Коэффициент С показывает, во сколько раз критическая сила рассматриваемого стержня отличается от критической силы шарнирно-опертого стержня той же длины I. Значения этих коэффициентов приведены на рис. 3.5. [c.85] Кроме приведенных простейших примеров имеется большое количество других более сложных задач, допускающих точное аналитическое решение [21 ]. Однако в общем случае при произвольных законах изменения EJ (х) и No х) уравнение (3.4у не удается аналитически проинтегрировать. Тогда для определения критических нагрузок и форм изогнутой оси стержня при потере устойчивости прибегают к приближенным методам. Одним, из наиболее эффективных машинных методов определения критических нагрузок в задачах устойчивости прямых стержней является метод начальных параметров. [c.85] Прежде чем перейти к изложению примеров использования этого метода, необходимо подчеркнуть, что не всегда целесообразно-применять полное уравнение четвертого порядка (3.4). В ряде случаев удается предварительно понизить порядок этого уравнения и существенно упростить решение (и аналитическое и особенно численное). Остановимся сейчас на двух основных случаях понижения порядка уравнения (3.4). [c.85] Положив в этом уравнении х = О, с учетом двух первых граничных условий, найдем Л4 = 0. [c.85] Это уравнение обычно выводится из условия равновесия части стержня в отклоненном положении (см. 4). Оно приведено в предыдущих главах. Нетрудно убедиться, что уравнение (3.9) справедливо при решении задач устойчивости стержней, изображенных на рис. 3.6, бив. Они эквивалентны задаче устойчивости шар-нирно-опертого стержня с изгибной жесткостью BJ (х), симметрично изменяющейся относительно среднего сечения. Примеры решения задач устойчивости стержней с помощью этого уравнения приведены выше. [c.86] Уравнение (3.10) интегрируется и еще для некоторых конкретных законов изменения EJ (х) и No(x) 121, 31]. [c.86] Вернуться к основной статье