ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точки бифуркации, предельные точки и критические нагрузки из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " В данном случае точка характерна еще тем, что при переходе через нее исходное положение равновесия стержня перестает быть устойчивым точки оси ординат, лежащие ниже точки А i соответствуют устойчивым состояниям, а точки оси ординат, лежащие выше точки А , — неустойчивым состояниям. В дальнейшем точки на диаграмме нагрузка — перемещение, при переходе через которые исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым, будем называть критическими точками, а соответствующие им значения нагрузок — критическими значениями нагрузок или критическими нагрузками. Критические нагрузки будем обозначать индексом кр, например, в рассмотренном примере Ркр=- . [c.16] При разгрузке две рассматриваемые системы ведут себя также по-разному. При уменьшении нагрузки первая система в обратном порядке проходит все этапы нагружения в точке бифуркации устойчивое отклоненное положение равновесия сменяется устойчивым неотклоненным положением (рис. 1.10, а). Вторая система проходит через новую точку бифуркации В2, где становится неустойчивым отклоненное положение равновесия. При достижении точки бифуркации система возвращается в исходное положение путем перескока (рис. 1.10, б). В таких случаях точку Bi иногда называют верхней критической точкой, соответствующее ей значение нагрузки — верхним критическим значением. Точку 5а называют нижней критической точкой, соответствующее ее значение нагрузки — нижним критическим значением нагрузки. Эти значения нагрузок будем соответственно обозначать (или Р р) и f 2кр- Так, в рассмотренном примере = = с1 и Ракр = —с/. [c.17] В дальнейшем нам будут встречаться критические точки бифуркации двух рассмотренных выше основных типов. В критической точке бифуркации первого типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой устойчивой формой равновесия, причем точка бифуркации первого типа соответствует устойчивому равновесию (например, точка на рис. 1.10, а). В критической точке бифуркации второго типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой неустойчивой формой равновесия, причем и точка бифуркации второго типа соответствует неустойчивому равновесию (например, точка В на рис. 1.10, б). [c.17] Вообще говоря, могут быть точки бифуркации других типов, например, точки, в которых пресекаются два решения, соответствующие неустойчивым положениям равновесия (согласно приведенному выше определению они не являются критическими). [c.17] Однако точки бифуркации указанных выше двух типов играют первостепенную роль в теории упругой устойчивости. [c.18] Кроме точек бифуркации в теории устойчивости важное значение имеют так называемые предельные точки. [c.18] На рис. 1.11, а изображена система, состоящая из двух жестких стержней, соединенных шарниром. Зависимость между силой Р и вертикальным перемещением и точки ее приложения имеет вид кривой, показанной на рис. 1.11,6. (Считая Н I, нетрудно получить аналитическое выражение этой зависимости). Точки l и Сз — типичные примеры предельных точек. [c.18] В предельной точке не пересекаются различные решения. Однако при переходе через нее устойчивое равновесие становится неустойчивым, причем предельная точка обычно соответствует неустойчивому равновесию. В соответствии с приведенным выше определением предельные точки исходной формы равновесия являются критическими. [c.18] Критические точки бифуркации первого типа характерны для задач устойчивости упругих стержней и пластин, критические точки бифуркации второго типа — для задач устойчивости тонких упругих оболочек. Критические предельные точки характерны для задач устойчивости пологих оболочек и тонких упругих оболочек с начальными геометрическими несовершенствами. [c.18] В предыдущих примерах при определении точек бифуркации и критических нагрузок рассматривались не только простейшие механические системы, но и их предельно идеализированные схемы. Возникает естественный вопрос, насколько полно и точно такие схемы могут отражать поведение реальных систем. Так, в рассматриваемых выше примерах считалось, что оси стержней до нагружения расположены строго вертикально. В реальной системе практически всегда начальный угол отклонения оси стержня от вертикали не равен нулю. На тех же простейших примерах выясним, насколько существенно влияние начальных геометрических несовершенств такого типа на поведение систем под нагрузкой, т. е. насколько различно поведение систем, имеющих начальные геометрические несовершенства, и идеализированных. [c.18] Несложный анализ позволяет установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Результат такого анализа схематично изображен на рис. 1.12, б. [c.19] При плавном увеличении нагрузки реализуется правая ветвь, все точки которой соответствуют устойчивым положениям равновесия отклоненного стержня. На этой ветви кривой при фо = О нет ни точек бифуркации, ни предельных точек с увеличением нагрузки угол отклонения стержня монотонно увеличивается. Левая ветвь, содержаш ая предельную точку С , может быть реализована только тогда, когда к стержню приложена некоторая дополнительная поперечная нагрузка, а затем она снята. [c.19] Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для фп я результат такого анализа изображен на рис. 1.13, 6. Как видим, поведение этой системы при Фо = О качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При фо О критическая точка бифуркации второго типа трансформируется в критическую предельную точку l. При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние. [c.20] Вернуться к основной статье