ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные колебания системы с бесконечно большим числом степеней свободы из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 " В ряде, к сожалению, немногочисленных, случаев представляется возможным одновременно и уточнить схему и упростить получение решения. Так обстоит дело, например, в случае балок. [c.177] Представим уточненную схему балки, полагая и упругие и инерционные свойства ее непрерывно распределенными вдоль оси балки. Такая расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы. [c.177] Здесь т = Рр — интенсивность распределенной вдоль оси балки массы. [c.177] Представление решения в форме (17.222), приводящее, что показано ниже, к уравнению с разделяющимися переменными, характерно для так называемого метода Фурье. [c.178] Заметим, что линейная комбинация стоячих волн может дать бегущую волну и наоборот ). [c.178] По формам свободных колебаний балки можно разлагать в обобщенный ряд Фурье любую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле. [c.178] Если T(i) i-o = Oi то В2 = 0 и T t) — Bi sin сЭс/. [c.179] Постоянную можно было бы найти, используя второе начальное условие при 1 = 0, например, T(t) t=o = f Амплитуды нас могут интересовать, например, в случае колебаний, возникающих вследствие удара. Однако иногда достаточно ограничиться видом функции (17.224) с точностью до постоянного множителя и тогда определять эту постоянную нет необходимости. [c.180] Для отыскания постоянных D , D2, D3, необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через Du. .., Di, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно Du. .., D4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю Du. .., Di) отвечает Z(z) = о, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно Du , Di нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний. [c.180] Решение. Общее решение выше было получено. Сформулируем граничные условия для функции V. [c.180] Здесь Zn — те же балочные функции, через которые выражен общий интеграл однородного уравнения. [c.182] Далее рассмотрим частный случай, уже обсуждавшийся в примере 17.34, т. е. рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам. [c.182] Нумерация корней дана по признаку возрастания их значений и без учета наличия нулевых корней. Формулы для корней (и1)п п 2) являются приближенными. Точность их возрастает с увеличением п. [c.183] С ростом п формы, соответствующие собственным функциям, в средней части балки приближаются к синусоидальной. [c.183] Таким образом, V z), Q z), M z) и Q(z) являются амплитудными значениями соответствующих величин. [c.185] Сопротивление колебаниям при учете его даже в рамках линейной теории также исключает беспредельный рост функций. И при достаточно большом сопротивлении величина перемещений при резонансных значениях al оказывается в пределах правомочности линейной теории. [c.187] Численные значения функций, подсчитанные по этим формулам, приведены в таблице 17.18. Эпюры функций представлены на рис. 17.87. [c.188] Пример 17.36. Вывести дифференциальное уравнение колебаний балки с распределенной массой при условии, что материал балки представляет собой упруговязкое тело Кельвина — Фохта, реологическое уравнение которого имеет вид а = Ег + kh. [c.188] Вернуться к основной статье