ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальные уравнения колебаний системы из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 " Величина — сила сопротивления, или диссипативная сила. [c.79] Знак минус указывает на противоположность направлений скорости и силы сопротивления. [c.80] Чем большее число членов удерживается в рядах (17.78)— (17.80), тем точнее получаются уравнения колебаний механической системы. [c.81] Сами колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными или малыми. Функции Т, Ф и (последняя при устойчивости равновесия) знако-определенные положительные ). [c.82] Последний определитель называется дискриминантом квадратичной формы, все остальные определители — славные диагональные миноры дискриминанта. [c.82] Уравнения (17.85), как это будет показано ниже, при определенных комбинациях коэффициентов могут описывать не колебательное, а апериодическое движение. [c.83] Если все 6 7 О, то имеем систему с сопротивлением. Отрицательным коэффициентам Ъц соответетвуют системы, в которые происходит поступление энергии пропорционально скорости, а не рассеяние ее. [c.84] Решение сиетемы (17.85) описывает физическое явление достаточно надежно лишь при малых перемещениях. Как только перемещения перестают быть малыми, результат, получаемый на основании решения системы (17.85), оказывается существенно отличным от реальной картины явления. В таких случаях для описания движения системы требуется в выражениях Л/,/ а следовательно, и Г и Ф, а также в выражении V удерживать большее число членов. Разумеется, уравнения при этом перестают быть линейными. [c.84] В некоторых случаях в принципе недостаточно линейного приближения для обнаружения явления, а тем более для его описания с необходимой точностью. [c.84] Примерами случаев, когда линеаризация невозможна в принципе, могут елужить системы, изображенные на рис. 17.33, г, е, которым соответствуют характеристики, показанные на рис. 17.33, в, д. [c.84] Приведенный в настоящем разделе способ получения уравнений линейных колебаний имеет ряд достоинств. Во-первых, он обладает большой общностью — уравнения при различ-ных частных сочетаниях значений, входящих в них параметров, описывают различные процессы. Во-вторых, этот способ позволяет подчеркнуть, что линейные колебания — это лишь частный случай класса колебательных движений, а линейные дифференциальные уравнения, их описывающие, имеют ограниченную точность и соответственно ограниченную область применения. В дальнейшем уравнения линейных колебаний выводятся и иначе, например, из принципа Даламбера. Однако всякий раз производится сопоставление получаемых уравнений с их общей формой. [c.84] При линейных колебаниях вблизи состояний равновесия перемещения считаются столь малыми, что сохраняется линейная зависимость их от действующих на систему и (или) возникающих в ней сил. Вследствие линейности дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания, сами системы, пребывающие в состоянии таких колебаний, называют линейными. [c.84] Теория линейных (малых) колебаний замечательна тем, что устанавливаемые в ней факты в одинаковой мере справедливы для объектов, пребывающих в соответствующем состоянии, независимо от их природы. Так, например, колебания в электрических сетях, упругие колебания систем, в частности, колебания, соверщаемые с частотами 16—20 000 гц и передаваемые уху какой-то средой, например, воздухом, и воспринимаемые им в виде звука, подчинены одним общим законам. Эти законы составляют предмет теории колебаний. [c.85] Известно, что расчетная схема динамической системы в ряде случаев представляется в виде упругой невесомой конструкции, несущей сосредоточенные массы. [c.85] Смысл приведенного здесь равенства и входящих в него величин подробно поясняется ниже. На i-ю массу действуют эффективные силы, включающие в свой состав силу инерции — midi и активные действующие силы, к числу которых относятся сила сопротивления — biv (если полагать ее пропорциональной скорости) и вынуждающая сила Q9 sin (м/-f ф) = QJ. Предполагаем, что все вынуждающие силы, приложенные к массам, имеют одинаковую частоту (круговую частоту ) и одинаковую начальную фазу ф. Совокупность таких вынуждающих сил можно назвать моногармоническим возмущением. [c.86] с = i 2. .. a — вектор восстанавливающих сил. Об-судим получение матрицы С. [c.87] При отсутствии сопротивления уравнение приобретает вид (EZ)2 + С) q = Ф sin i i i + ф). [c.90] Здесь P — сила, действующая на точку балки со стороны отброшенной массы. Эта сила складывается из силы инерции —m q , силы сопротивления — b q и вынуждающей силы QJ sin ( а/ -f ф), т. е. [c.90] Структура матриц А и В для рассматриваемой системы пояснена в сноске на стр. 89. Если сопротивление отсутствует, то В = 0. [c.91] Вернуться к основной статье