ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационное исчисление и связь его с проблемами механики из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " В некоторых из этих источников имеется большая библиография. [c.439] Вариационные принципы, относящиеся к упругим и упруго-пластическим системам, рассматривались в работах Гвоздева А. А. (1934, 1938), в книге Новожилова В. В. (Теория упругости. Судпромгиз, 1958). Вариационные принципы в теории оболочек обсуждены в статьях Алумяэ Н. А., Ай-н о л ы Л. Я-, Галимова К. 3., А б о в с к о г о Н. П. [c.439] Вариационные принципы механики/Под ред. Полака Л. С. —М. Физ-матгиз, 1959. [c.439] По лак Л. С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение к физике. — М. Физматгиз, 1960. [c.439] Лаврентьев М., Люстерник Л. Основы вариационного исчисления т, I, П. —М. Гостехиздат, 1935 Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. [c.439] Курс вариационного исчисления, изд. второе переработанное.—М. Гостехиздат, 1950 Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. Пер. с англ. Солнцевой Ю. К- под ред. Эльсгольца Л. Э. — М. ИЛ, 1950 Э л ь с г о л ь ц Л, Э. Вариационное исчисление.—М. Гостехиздат, 1952. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению.—М. Гостехиздат, 1955 Гельфанд И. М.. Фомин С. В. Вариационное исчисление.—М. Физматгиз, 1961. [c.440] Здесь 11 представляет собой число — некоторую размерную величину. Это число зависит от о (г), а следовательно, от о(д)—функции, описывающей кривую, являющуюся осью изогнутой балки (и (г) = 1/р (г) — функция, характеризующая изменение кривизны оси по длине балки). Если задаваться очертанием оси изогнутой балки, т. е. задаваться видом функции V (г) (а следовательно, и функции у (2)). то каждой такой функции П(ц (г) будет соответствовать значение (число) потенциальной энергии деформации Можно поставить задачу найти функцию ) v(г), при которой функционал и принимает минимальное значение, В таком случае задача становится вариационной ). [c.441] Как будет пояснено в последующих параграфах, в механике сформулированы так называемые вариационные принципы, в которых экстремальность некоторых функционалов, имеющих энергетическую природу, выражает определенные свойства механической системы. Вследствие этого проблемы механики могут формулироваться как вариационные. [c.441] Если функционал / у (х)] достиг экстремума на экстремали у (х), то приращение функционала А1 — I [у (х)] — I [у (х)], вызванное переходом от кривой у = у х) к другой кривой у (х), называемой кривой сравнения, должно сохранять свой знак, какая бы кривая сравнения ни была взята. Если функционал I достиг на у х минимума, то А/ 0, а если— максимума, то А/ 0. Разность у(х)—у х) называется вариацией функции и обозначается ду (рис. 15.2) ду = у(х)—у(х). [c.441] Роль вариации бг/ в вариационном исчислении аналогична роли приращения независимого аргумента при изучении функции. Вариация функции бу —сама является функцией х. [c.442] Если функционал / достигает экстремума лишь по отношению к близким кривым сравнения у = у- -Ьу, то экстремум называется относительным (сравните с относительным экстремумом функции). [c.442] Если при этом 6 / —малая величина, а бу —может быть и большой величиной (рис. 15.3), то экстремум функционала называется сильным-, при условии малости как Ьу, так и Ьу — слабым (рис. 15.2). [c.442] Случай, когда граничные условия для экстремали не заданы, пояснен ниже. [c.443] Экстремали рассматриваемой вариационной задачи находятся как интегральные кривые уравнения Эйлера. Если уравнение Эйлера второго порядка, то семейство экстремалей зависит от двух параметров, которые находятся из граничных условий (15.4). [c.443] Для того чтобы установить действительно ли реализуется на кривой у = у(х) экстремум функционала и при этом выяснить, что имеет место — максимум или минимум — необходимо рассмотреть достаточные условия. [c.443] С этой целью изобразим приращение функционала (пользуясь формулой Тейлора), представив в явной форме как линейный член, так и член второй степени относительно 8у и бу. [c.443] В других, более сложных случаях (а) — функционал от п функций одной переменной и от их первых производных б) — функционал от одной функции одной переменной и от п последовательных производных этой функции в) — функционал от функций нескольких переменных и от их производных) дифференциальные уравнения, выражающие необходимые условия экстремума функционала, получаются более сложными. Иногда в названии этих уравнений, кроме имени Эйлера, упоминаются имена и других ученых (С. Д. Пуассона, М. В. Остроградского), но часто и в этих, более сложных случаях, упоминают только имя Эйлера. [c.443] Как видно из приведенной ниже схемы, отыскание экстремума функционала аналогично отысканию экстремума функции. [c.444] В результате подстановки числа х, найденного в п. 2, в (15.5). [c.444] Отметим, что вариационный метод позволяет получать не только дифференциальные уравнения проблемы, но одновременно и недостающие 1) граничные условия. Эти граничние условия, называемые естественными, не обуславливаются внешними обстоятельствами и вытекают из сути самой вариационной задачи. Удовлетворение естественным граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера. Совокупность наложенных извне и естественных граничных условий обеспечивает единственность решения вариационной проблемы —из поля экстремалей выделяется одна. [c.445] Вернуться к основной статье