ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение прямой задачи полуобратным методом из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 1 " Число решенных задач из года в год увеличивается, однако еще нельзя решить (довести до отыскания функций в общем виде) любую задачу теории упругости, пользуясь указанными выше путями решения, В ряде случаев удается получить решение прямой задачи теории упругости так называемым полуобратным методом, впервые примененным Сен-Венаном. Коротко изложим сущность этого метода. Ниже этим методом решен ряд задач, где обнаруживаются некоторые особенности метода, о которых в данном параграфе говорить преждевременно. С целью придания методу в каком-то смысле алгоритмичности, рассматриваются четыре этапа решения задачи этим методом. Такая схема не претендует на универсальность, хотя все известные автору решения задач теории упругости полуобратным методом хорошо вписываются в рамки этой схемы. [c.634] На первом этапе, желая упростить решение системы уравнений теории упругости, часть искомых функций стараются угадать , при этом система уравнений упрощается, так как в ней искомыми оказываются только остальные неизвестные функции. Конечно, угадать в полном смысле этого слова искомые функции невозможно. В основу такого априорного выбора функций должны быть положены те или иные соображения. Обычно, если решается такая задача, которая могла бы быть решена при упрощенном подходе и в элементарной теории (например, в сопротивлении материалов), то некоторые из искомых функций могут быть взяты из упомянутого элементарного решения. Если решается задача, которая не может быть решена средствами элементарной теории, то в основу априорного выбора некоторых функций кладутся те или иные умозрительные соображения или в ряде несложных случаев удается использовать теорию размерностей ). В качестве иллюстрации такого выбора функций приведем следующий пример. [c.634] Подробно о теории размерностей говорится в монографии Седова Л. И, Методы теории размерностей и теории подобия в механике, Наука , 1970. [c.635] На втором этапе производится проверка удовлетворения принятыми на первом этапе функциями основным уравнениям теории упругости — равновесия и совместности деформации. Выясняется, каким требованиям при этом должны удовлетворять остальные, пока не известные функции. Проверяется, не являются ли эти требования противоречащими друг другу. Если обнаруживается такое противоречие или если непосредственно выясняется невозможность удовлетворить основным уравнениям теории упругости выбранными на первом этапе функциями, то это свидетельствует о внутренних противоречиях в указанной системе функций. С механической точки зрения это означает, что выбранной на первом этапе решения задачи системе функций невозможно поставить в соответствие какое-либо мыслимое напряженно-деформированное состояние тела в рамках соблюдения его сплошности (в процессе деформаций) и равновесия. [c.636] Если основные уравнения теории упругости удовлетворены функциями, принятыми на первом этапе решения задачи, и выявлены условия, накладываемые на остальные не известные еще функции, то на этом второй этап решения задачи заканчивается. В таком случае приходим к выводу, что напряженно-деформированное состояние тела, соответствующее выбранным на первом этапе функциям, возможно с точки зрения теории упругости. В противном случае приходится либо отказываться совершенно от функций, принятых на первом этапе, и начинать поиск заново, либо вносить коррективы в функции, обеспечивая возможность удовлетворения ими основным уравнениям теории упругости. [c.636] После того как удастся удовлетворить выбранными функциями основным уравнениям теории упругости, переходят к третьему этапу решения задачи. [c.636] Может возникнуть и такая ситуация, при которой в результате третьего этапа решения задачи происходит не удовлетворение, а лишь упрощение граничных условий. Такой случай может встретиться тогда, когда на четвертом этапе предстоит решать дифференциальное уравнение или систему таких уравнений. При этом на четвертом этапе приходится решать краевую задачу, но более простую, чем исходная краевая задача. [c.637] После удовлетворения изложенным выше требованиям третьего этапа переходят к последнему, четвертому этапу, на котором производится решение системы уравнений, полученной в результате упрощения, связанного с тем, что некоторые из искомых функций ранее уже так или иначе найдены. Чем больше число функций удается выбрать предварительно, тем проще оказывается та система уравнений, решение которой остается выполнить на четвертом этапе. Полученное таким образом решение является искомым, что следует из теоремы о единственности решения. [c.637] Вернуться к основной статье