ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема о единственности решения задачи линейной теории упругости из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 1 " Наряду с теоремой, указанной в названии параграфа, имеется еще и теорема о существовании решения задачи теории упругости. Доказательство этой последней теоремы является далеко не простым в математическом отношении. Вместе с тем, если исходить из физических соображений, то факт существования решения задачи теории упругости является достаточно очевидным. Все уравнения теории упругости, приведенные выше, получены из принципов механики, не вызывающих сомнения, вследствие чего они, эти уравнения, не могут быть в противоречии с природой — сплошное тело (сохраняющее свою сплошность) определенным образом нагруженное и надлежащим способом закрепленное, должно иметь хотя бы одно положение равновесия. Поскольку теорема о существовании решения задачи теории упругости (в том числе и нелинейной), представляя большую математическую сложность, с точки зрения механики не вызывает сомнения в смысле ее справедливости, на доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся и будем исходить из предположения о существовании решения отмеченной выше задачи. Что касается теоремы о единственности решения линейной задачи теории упругости, то ее ниже докажем. [c.624] В упругой системе работа заданных внешних сил на соответствующих им перемещениях равна удвоенной потенциальной энергии деформации системы (см. главу XV). [c.625] В нашем случае, поскольку системе функций (9.33) соответствуют нулевые объемные и поверхностные на Qj внешние силы при нулевых на Q2 перемещениях, работа, совершаемая внешними силами, равна нулю, а следовательно, равна нулю и потенциальная энергия деформации, т. е. [c.625] Иными словами, предположение о возможности наличия двух разных напряженно-деформированных состояний, соответствующих одним и тем же силам и закреплениям, сделанное в самом начале обсуждения вопроса, является неправильным. На самом деле одной системе внешних сил (объемных и поверхностных) и закреплений в случае линейной задачи теории упругости соответствует одна и только одна система функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние тела. В этом и состоит теорема о единственности решения линейной задачи теории упругости. Вопрос о перемещениях (единственности или неединственности) будет обсужден более подробно ниже. [c.626] В случае неправомочности принципа независимости действия сил, а это имеет место в нелинейных задачах теории упругости, единственность решения проблемы теории упругости не подтверждается — одной и той же нагрузке может соответствовать не одно, а несколько напряженно-деформированных состояний. [c.626] Вернуться к основной статье