ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Лагранжа. Приведение по Раусу из "Лекции по классической динамике " Теорема, доказанная для движения по поверхности, без труда обобщается всякий линейный интеграл натуральной системы можно представить как циклический в некоторой системе координат. [c.225] Лагранжиан не зависит от координат дт+, qn, но зависит, конечно, от скоростей qm+, qn- Наша цель — вообще исключить функции qm+s(t) из рассмотрения. [c.225] Уравнения (4) составляют так называемую приведенную систему. [c.225] И осталось подставить в уравнения Лагранжа. [c.226] Задача 44. Пусть п=]. Тогда, если к L q, q) прибавить f q) q, то уравнение Лагранжа не изменится. При п = 2 это в общем случае уже не так. Доказать. [c.226] Частный случай (6) мы имели в случае центрального поля сил в плоскости. Функция 1/(. = с2/2р+ называется приведенным потенциалом системы с лагранжианом L. [c.226] Задача 45. Прямая трубка длиной 21 лежит концами на горизонтальной окружности и может свободно по ней скользить. В трубке от середины к концу движется точка с относительной скоростью Vq. Масса точки m2, масса трубки nii (рис. 33). [c.226] Задача 46. В поле силы тяжести точка массой т движется по верхней половине конуса 2 = х +у . Найти а) ЗИ с, где h — константа энергии, тс —константа циклического интеграла (здесь ф —угловая циклическая координата в цилиндрических координатах (z, г, ф)) б) частоту малых колебаний в приведенной системе. [c.227] Задача 47. В поле силы тяжести внутри вращающегося обруча массой Ш), могущего поворачиваться вокруг центра, катается обруч массой m2. Радиусы обручей — р и г (рис. 34). [c.227] вообще говоря, имеются слагаемые, линейные по скоростям qi. Последнее слагаемое называется приведенным потенциалом. Можно показать, что матрица Л]—Л12Л2 Л12 положительно определена. [c.227] ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДЛЯ ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА—ПУАССОНА. Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести (вектор вертикали f = e ), предполагая, что моменты инерции В = С и центр масс лежит на оси динамической симметрии Ое на расстоянии / от О. В частности, тело может быть просто осесимметрично. [c.227] Пусть 0, ф — сферические координаты для вектора е (см. [c.227] При й = 0 получаем (с точностью до обозначений) лагранжиан сферического маятника, а при кфО к нему прибавляется линейное по скорости слагаемое (постоянная k j A несущественна). [c.228] Изменение 0, со временем описывает самое для нас интересное в движении волчка Лагранжа—Пуассона (особенно если он осесимметричен)—поведение оси Ое. Исследуем его качественно. [c.228] что 1 (0 будет монотонной функцией, если ar os /fee е[0], 02]. Тогда вектор e(i) описывает волнообразную кривую (рис. 66, а). В противном случае на кривой появятся петли (рис. 66, б). Таким образом, появление линейного члена в функции Рауса Rh приводит к своеобразному закручиванию траекторий вектора е(/). [c.229] В заключение отметим, что формулы (8) — (10) позволяют по аналогии с (11) написать лагранжиан и в общем случае движения твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести. [c.229] Вернуться к основной статье