ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип дАламбера—Лагранжа для голономных систем из "Лекции по классической динамике " Определение. Моментом инерции тела относительно прямой I называется число 7(/) = (f, To(f)), где О — некоторая точка /, f — единичный направляющий вектор прямой. [c.203] Можно заметить, что Ii + h -h, h + h h, h + h h- Если /1 + /2=/з, то все тело лежит в плоскости О т . Если /з=0, то все тело лежит на оси 0 . [c.204] Числа Ао, Во, Со называются главными моментами инерции в точке О. Плоскость (прямая) называется главной для некоторой своей точки О, если содержит два вектора (один из векторов) главного репера в точке О. [c.204] Задача 34. Плоскость (ось) симметрии распределения масс тела есть главная для всех своих точек. Доказать. [c.204] Задача 35. А. Пусть 5 — центр масс, Q — произвольная точка, f — единичный вектор, d — расстояние между прямыми QJ, 5f. Тогда /(Qf) =/(5f)+7Ий(2 (формула Гюйгенса—Штейнера). [c.204] ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ. Имеются в виду импульс, кинетический момент и кинетическая энергия, которые уже рассматривались применительно к системе свободных материальных точек в 10. В случае, когда система точек образует твердое тело, выражения для этих величин принимают специфический вид в связи с тем, что скорости точек тела образуют распределение, описываемое формулой Эйлера Vp = Vs+[ oXSP], Таким образом, в каждый момент времени скорости зависят от точки тела, а зависимость их от времени проявляется только через векторы Vs, ю, которые являются общими для всех точек тела. [c.204] НЕСВОБОДНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО. Если перемещения тела как-то ограничиваются, то говорят, что на него наложены связи (точные формулировки будут даны позднее). Чтобы применить уравнения (1) и (2), можно рассматривать тело как свободное и считать, что связи реализуются за счет воздействия некоторых дополнительных сил, которые называются реакциями связей. Существуют общепринятые приемы подмены связей силами, основанные на простейших физических моделях взаимодействия твердых тел (сами модели остаются при этом в тени). [c.206] Пример. Вращение диска вокруг неподвижной вертикальной оси (рис. 15). Ось проходит через центр S диска под углом а к его плоскости и кончается в точках А, Лг, находящихся на расстоянии d от S. Требуется а) доказать, что 1)5 = onst б) вычислить реакцию в точках опоры Ai и Л2. [c.206] Задача 36. По плоскости катится диск с невесомой штангой (из примера 2 11). Доказать, что ij) = onst, найти кинетическую энергию и силу реакции в точке касания. Дано, что R лежит в плоскости диска. [c.207] Легко понять, что в результате эквивалентных преобразований не изменяется ни суммарная сила 2F,, ни суммарный момент сил относительно любой точки, в том числе центра масс. Поэтому в результате эквивалентных преобразований уравнения движения (1) и (2) изменений не претерпевают. [c.208] Произвольную систему с моментом Gs и суммой F эквивалентными преобразованиями можно привести к системе, состоящей из трех сил пары сил с моментом Gs и силы Р, приложенной к точке 5. [c.208] Замечание о силе тяжести. Строго говоря, к каждой частице твердого тела приложена своя небольшая сила тяжести — ее вес, а суммарная сила mg, которую мы прикладываем к центру масс, есть результат эквивалентного преобразования такой распределенной по телу системы сил. [c.208] УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА. Разложим по главному реперу, связанному с телом в точке О, векторы и и Go. [c.209] Величины G, G, G зависят, вообще говоря, от положения тела и его угловой скорости (т. е. совокупно — от его состояния), так что эта система уравнений в общем случае не замкнута. [c.209] Таким образом, первых интегралов вполне достаточно, чтобы решить уравнения (13), а именно (подробности опускаем) можно получить решение в эллиптических функциях. [c.209] Если D = , то р=-д = 0, что соответствует положениям равновесия на оси г. Если D B, то движение по эллипсоиду T = h происходит в I и III четвертях (см. рис. 75, где изображен вид сбоку). При D = B конус распадается в пару плоскостей и движение происходит по сепаратрисам, проходящим через седловую точку равновесия 0. При B D A движение происходит во II и IV четвертях, а при D = A вектор угловой скорости постоянен и находится в крайней правой или крайней левой вершинах эллипсоида. На каждой траектории конца вектора ш нетрудно указать направление ее прохождения, выясняя знак р по знакам 7 и г из уравнений Эйлера. [c.210] Таким образом, движение можно представить себе как равномерное вращение вокруг вектора е, который в свою очередь равномерно поворачивается вокруг неподвижного вектора Л. [c.210] Если мы выберем теперь и=1/У2/г, точка Р будет принадлежать как плоскости, так и эллипсоиду инерции, причем Vp = 0, как и должно быть при качении. Остается показать, что эллипсоид касается плоскости я. Но это очевидно, так как нормали к плоскости и к эллипсоиду в точке Р коллинеарны (Ар, Вд, Сг)=А. [c.211] Эллипсоид, катаясь по плоскости я, оставляет на ней след, называемый герполодией точка касания с плоскостью на эллипсоиде описывает кривую, называемую полодией. Так как полодия высекается на эллипсоиде инерции направлением угловой скорости, то полодии совпадают с фазовыми кривыми уравнений Эйлера при Т= /2. Герполодии располагаются на плоскости в некотором кольце и, вообще говоря, не замкнуты (рис. 47). [c.211] Вернуться к основной статье