ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тема 18. Уравнение Гамильтона—Якоби из "Лекции по классической динамике " Не уменьшая общности, можем считать . = 0. [c.97] Перейдем к уравнениям Лагранжа. [c.98] Переменные называются нормальными координатами. [c.100] Из теорем о первом приближении вытекает, что при АкфО уравнения (4) в ряде вопросов дают неплохое представление о поведении решений точной системы. Особенно важна роль этого приема на практике, где ценность всякого приближения усиливается тем, что фактически важно поведение решений лишь на каком-то конечном интервале времени. [c.100] Квадратные скобки призваны подчеркнуть, что имеем функционал — функционал действия, а не сложную функцию t. [c.101] СНОВА ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В теме 11 были доказаны следующие утверждения. [c.103] Второе доказательство 1 [9(0] = W [ (0]+f( )—f( ). так что экстремали у обоих функционалов одни и те же. [c.103] Если 6(/) удовлетворяет условиям (10), то существует вариация, удовлетворяющая связям, такая, что справедливо (4). Это следует из леммы о трансверсальных координатах ((11.40) — (11.41)). [c.103] Вариации обоих функционалов совпадают при условии (10) и положительны для (14), если (12) 0. Остальное просто. [c.104] Общая концепция, связывающая наличие интеграла с определенными свойствами симметрии системы, принадлежит С. Ли (мы дадим предвтавление о ней в теме 17), а конкретный вид интеграла для систем, описываемых уравнениями типа Эйлера—Лагранжа и обладающих известной симметрией, получен Э. Нетер. [c.106] что теорема Ли—Нетер верна и при наличии связей дополнительно надо потребовать, чтобы не зависели от s. Таким образом, наличие симметрии можно устанавливать, не вводя определяющих координат. [c.106] Коэффициенты базовой формы при подстановке изохронных дифференциалов формул замены переменных преобразуются по ковекторному правилу. [c.107] уравнения (2) получены, причем даже указан способ вычисления правых частей. [c.107] Доказательство повторяет рассуждения соответствующей теоремы из темы 11 с учетом ковекторного правила преобразования обобщенных сил, описанного только что выше (в нем не использовалась невырожденность замены). [c.108] Заметим, что в силу ковекторного правила преобразования свойство обобщенной потенциальности (простой потенциальности) не зависит от выбора переменных и сохраняется после наложения связей. Обобщенный потенциал определен с точностью до прибавления полной производной df q, t)/dt и выдерживает любые замены переменных. [c.109] Эти варианты отличаются на - ху) с множителем. [c.109] Пример 2. Силы инерции, действующие на точку в неинерци-альной системе координат, обобщенно потенциальны. [c.109] Последние два слагаемых, взятые с обратным знаком, дадут обобщенный потенциал сил инерции. Если в неинерциальной системе координат движутся несколько точек, то обобщенные потенциалы сил инерции, естественно, суммируются. [c.110] Разумеется, все они предполагаются однородными. [c.111] Вернуться к основной статье