ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Система с двумя степенями свободы из "Аналитическая динамика " Напомним, что варьирование производится в предположении, что вдоль кривых сравнения анергия остается постоянной, равной h + Это ограничение вариаций, в сущности, не является чересчур искусствепным мы просто требуем, чтобы изображающая точка двигалась вдоль варьированного пути в 5г-пространстве со скоростью, удовлетворяющей условию Т + - - F = А бй, причем время движения по этому пути нами не ограничивается. [c.553] Основная формула (27.1.5) была выведена нами в предположении, что варьирование совершается относительно динамически возможного пути (т. е. пути, удовлетворяющего уравнениям движения). Варьированный путь при этом не является, вообще говоря, динамически возможным путем, но мы остановимся на том частном случае, когда этот путь является динамически возможным. Варьированным движением при этом будет движение системы с немного измененными начальными значениями координат и скоростей. [c.553] Сравнение характеристической функции Гамильтона с главной функцией показывает, что последняя обладает большей простотой. Поясним это на простом примере. Рассмотрим плоское движение частицы в однородном поле. Если задать начальную точку Xq, г/о и конечную точку х , у , а также начальный и конечный моменты времени to и ti, то движение частицы тем самым будет полностью определено. Отсюда следует, что функция S будет однозначной функцией пяти аргументов Хд, г/д, Xi, 1/1, ti — — и будет определена для всех значений аргументов. (В 15.9 мы ее вычисляли.) Если же мы зададим точки Xq, ti х , и постоянную энергии h, то можем получить либо две траектории, либо одну, либо ни одной. Таким образом, функция Z будет л мдгозкачкой функцией своих пяти аргументов Xq, i/q, Xi, yi, h, и определена она будет лишь для некоторых значений аргументов. Выражение для для рассматриваемой задачи будет дано позже ( 27.10). [c.553] Сейчас мы рассмотрим аналогичное преобразование задачи в случае системы более общего вида. [c.554] Это равенство имеет точно такую же форму, как и в простом случае движения частицы в обычном пространстве, отличие состоит в том, что теперь интегрирование производится вдоль кривой в пространстве конфигураций и s здесь обозначает длину дуги этой кривой. [c.555] Элемент длины в пространстве конфигураций ф равен элементу длины отрезка на цилиндре радиуса 6 с i, ф, в качестве цилиндрических координат. Если нет заданных сил (7 = О в уравнении (27.7.8)), траектории в пространстве конфигураций соответствуют геодезическим линиям на поверхности цилиндра если последний развернуть на плоскость, то геодезические линии перейдут в прямые. [c.556] Вернуться к основной статье