ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Существование предельного цикла из "Аналитическая динамика " Начало координат является единственной особой точкой и представляет собой, либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус. Как выяснится в дальнейшем, существует одна-единственпая циклическая силовая линия и все положительные полухарактеристики стремятся к одному предельному циклу. Система обнаруживает стремление к установлению периодических колебаний независимо от начальных условий движения (исключая тривиальный случай, когда в начальный момент х = х = 0). [c.395] Существование предельного цикла будет доказано, если будет найдена замкнутая кривая, охватывающая точку О, которая обладает тем свойством, что вектор F в каждой ее точке направлен внутрь области, ограничиваемой этой кривой. При этом, как и в 20.6, существование предельного цикла будет следовать из теоремы Пуанкаре — Бендиксона. Однако, мы приведем здесь другое доказательство, которое одновременно будет гарантировать и единственность решения. [c.396] Теперь легко представить общий характер ноля. В точках верхней полуплоскости горизонтальная составляющая Р направлена вправо, а в точках нижней полуплоскости — влево. Слева от кривой L вертикальная составляющая Q направлена вверх, а справа от нее — вниз. На кривой L поле горизонтально, а на оси Ох — вертикально. [c.396] После пересечения с осью Ох траектория продолжается в нижней полуплоскости и снова пересекает кривую L, а также отрицательную полуось х. [c.397] Если теперь заменить х на —х, а г/ на —у, то уравнения не изменятся поэтому кривая, симметричная дуге относительно начала О, также является дугой траектории. Отсюда следует, что траектория является циклической в том и только в том случае, когда Х2 — —Xi. [c.397] Из этих утверждений будет вытекать, что функция (S) лишь один-единственный раз принимает нулевое значение. [c.397] ЧТО завершает доказательство второго утверждения. [c.398] Вернуться к основной статье