ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Структура множества из "Аналитическая динамика " Докажем сначала, что С есть циклическая траектория. Пусть р — обыкновенная точка, ская ем, положительного предельного множества Л кривой С. Множество Л составляет часть Л (поскольку С принадлежит Л и это множество замкнуто), так что р А. Пусть S будет отрезок без контакта, проходящий через точку р. Тогда S пересекает Л в единственной точке р. Таким образом, S пересекает С в одной-единственной точке р, и, следовательно, траектория С является циклической. [c.391] Докажем теперь, что С = А. Предположим противное пусть Е — множество точек, принадлежащих Л и не лежащих на С. Множества Л и С замкнуты, а множество Е открыто поэтому существует предельная точка q множества Е, которая не лежит в Е. Но точка q лежит в Л, так как это множество замкнуто, следовательно, q С. Рассмотрим теперь отрезок без контакта S, проходящий через точку q (которая является обыкновенной точкой и лежит на С). Пусть р — точка множества Е, лежащая достаточно близко от точки q. Тогда р будет обыкновенной точкой и проходящая через нее характеристика будет пересекать отрезок S в точке q, которая будет отлична от q, так как характеристики не пересекаются. Но q Л, так как р 6 А, и, следовательно, вся характеристика, проходящая через точку р, принадлежит множеству Л. Таким образом, отрезок S содержит две различные точки q ж q, принадленсащие множеству Л, а это, как мы видели, невозможно. Следовательно, множество Е должно быть пустым и С = А. Множество Л сводится к циклической траектории. [c.391] Если траектория С циклическая, то С = Л. Пусть С — не циклическая траектория. Рассмотрим отрезок без контакта 5, проходящий через точку р множества Л. Последовательность точек пересечения Pi, р2, Рз кривой С с отрезком S сходится к точке р ( 20.4), так что С представляет спираль, приближающуюся к множеству Л при оо. В этом случае циклическая траектория Л называется предельным циклом. [c.392] Остается рассмотреть исключительный случай, когда множество Л не сводится к особой точке, но таково, что каждая траектория, полностью лежащая в Л, обладает тем свойством, что ее положительное предельное множество является особой точкой и ее отрицательное предельное множество является особой точкой. В этом исключительном случае множество Л является псевдоциклической траекторией, т. е. представляет собой замкнутую кривую, составленную из траекторий, каждая из которых начинается и заканчивается в особой точке. Эти особые точки являются седловыми. Простейшим случаем псевдоциклической траектории является тот, когд одна траектория выходит из седловой точки и возвращается в нее. В другом простом случае имеются две различные седловые точки, которые соединяются двумя различными траекториями. Выше были приведены примеры обоих этих случаев сепаратриса на рис. 89 дает пример первого случая, а сепаратриса на рис. 83 — пример второго случая. [c.392] Вернуться к основной статье