ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение в поле центральной силы из "Космическая техника " Рассмотрим теперь движение ракеты с двигательной системой ограниченной мощности в поле центральной силы, например в поле притяжения Земли. Поскольку практически достижимая величина тяги такой системы очень мала (ионные двигатели могут сообщать ракете активные ускорения, равные лишь 10 — 10 g), мы будем предполагать, что ракета стартует не с поверхности Земли, а с некоторой начальной орбиты, куда она была предварительно выведена с помощью химической ракеты или ракеты с ядерной силовой установкой, служащей для нагрева рабочего газа. Мы будем везде в дальнейшем говорить о движении ракеты в поле Земли, хотя все сказанное в равной степени относится и к движению в поле других планет. Луны или Солнца. Таким образом, будет изучаться движение ракеты в гравитационном поле одного тела, масса которого сосредоточена в его центре. Кроме того, ограничимся рассмотрением лишь движения в плоскости. [c.297] Первый член в правой части уравнения (8.24) представляет центробежную / 0 2 силу ) второй — силу притяжения и третии — радиальную компоненту активного ускорения ракеты. Уравнение (8.25) выражает тот факт, что скорость изменения момента количества движения, приходящегося на единицу массы, равна моменту силы, действующей на единицу массы, т. е. произведению трансверсальной компоненты силы тяги ракеты на плечо г. [c.298] Уравнения (8.24), (8.25) и (8.26) представляют систему дифференциальных уравнений, определяющих движение ракеты при заданных значениях радиальной и трансверсальной компонент силы тяги. Эти уравнения принадлежат к числу тех, с которыми встречаются при изучении траекторий тела, когда кроме центральной силы на тело действуют добавочные малые возмущения. В частности, далее будет обсуждаться работа Цянь Сюэ-сэня [6] в ней эти уравнения исследуются при наличии постоянного ускорения от силы тяги, действующей либо в радиальном, либо в трансверсаль-ном направлении. [c.298] Здесь величина 9 исключена с помощью уравнения (8.26). Полученные уравнения (8.24), (8.25), (8.26), (8.32) и (8.33) образуют совместную систему уравнений восьмого порядка, для решения которой нужно задаться системой восьми граничных условий. В рассматриваемой задаче этими условиями являются четыре условия в начальной точке траектории — две координаты и две компоненты скорости — и четыре аналогичных условия в конце. [c.299] Однако даже при наличии указанных интегралов до получения полного аналитического решения задачи еще очень далеко. Для решения приведенных дифференциальных уравнений пришлось прибегнуть к численным методам. При этом использовались уравнения (8.24), (8.25), (8.26), (8.34) и (8.35). Интеграл (8.36) для нахождения не применялся вследствие того, что для численного интегрирования этого уравнения его необходимо предварительно делить на dr/dt (коэффициент при da -ldt), а эта величина во многих задачах проходит через нуль. Поэтому уравнение (8.36) оказалось более полезным для контроля точности вычислений, т. е. для проверки того, насколько левая часть его остается близкой к постоянной величине. [c.299] Когда на конце задается только Е, необходимо найти еще одно конечное условие. Согласно результатам Блюма [7], соответствующее условие трансверсальности требует, чтобы в конечный момент вектор тяги был направлен вдоль вектора скорости ракеты. [c.301] И поэтому необходимо тщательно следить за тем, чтобы оптимальные траектории, полученные в результате решения, не пересекались с Землей. [c.304] Характеристическая скорость, необходимая для ухода с круговой орбиты, как функция величины активного ускорения. [c.306] постоянной трансверсальной тяги и случая оптимального движения [с использованием формулы (8.40)]. В результате оказалось, что разница в величине полезной нагрузки в этих примерах оказалась пренебрежимо малой. [c.308] как мы убедились, должна оставаться таковой вплоть до момента освобождения ). [c.310] Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо задать шесть граничных условий. Тремя из них являются начальные условия переходной траектории, а именно радиальное расстояние ракеты от Солнца равно радиусу земной орбиты, радиальная скорость равна нулю ), а трансверсальная компонента скорости равна орбитальной скорости Земли. Еще два условия, которые мы пытались удовлетворить, заключались в том, чтобы ко времени Тт Тт — заданное время перелета) удельная энергия Е и удельный момент количества движения к ракеты были равны соответствующим величинам Марса (так как задание Е в. к полностью определяет форму и размеры эллиптической орбиты Марса). Последнее условие, которое мы стремились также выполнить, было условие равенства величины активного ускорения ракеты в момент Тт начальному активному ускорению. Это последнее условие позволяет из всех возможных конечных точек траектории (на орбите Марса) выбрать такую, для которой полезный груз оказывается максимальным [см. уравнение (8.376)]. [c.310] Вычитая этот угол из угловой координаты точки встречи, находим положение точки старта с земной орбиты, т. е. начальную точку траектории перехода. [c.310] пройденный по траектории вокруг Солнца, составляет 73,6°. Представляет интерес найти программу активных ускорений для траектории, показанной на рис. 8.18. Эти программы для составляющих аг и ае в функции времени приведены на рис. 8.19. Напомним, что программы ускорений выбраны не произвольно, а получены в результате расчета на оптимум. [c.311] В течение первого и последнего месяцев полета, когда интеграл быстро растет, величина, обратная массе и являющаяся линейной функцией этого интеграла, также растет. Здесь скорость расхода массы весьма велика, тогда как в средней фазе полета рост интеграла почти прекращается и масса ракеты остается почти постоянной, так как величина расхода ничтожно мала. Вспомним теперь, что мощность вытекающего потока должна все время быть равной полной располагаемой мощности эта означает, что скорость истечения на среднем участке полета должна быть очень высокой (по крайней мере, это относится к той оптимальной траектории, которая здесь изучается). График зависимости удельного импульса,, пропорционального скорости истечения, от времени дан на рис. 8.26. [c.312] Вернуться к основной статье