ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анализ устойчивости по фон Нейману из "Вычислительная гидродинамика " Каплана [1950]. Как мы покажем ниже, в этом методе решение модельного уравнения представляется рядом Фурье с конечным числом членов и устойчивость (или неустойчивость) определяется тем, что каждое отдельное колебание затухает (или нарастает). [c.69] Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уравнения (3.93) при нулевых граничных условиях. Общее решение получается заменой в (3.94) V на где п интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разност-ной схемы (3.93) (см. Рихтмайер и Мортон [1967]). Хотя (3.94) не является решением уравнения с конвективным и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса, о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фон Нейману. [c.69] Заметим, что G == G(0), т. е. в этом случае множители перехода для различных фурье-компонент различны. [c.70] Это условие является критерием устойчивости для уравнения (3.93) с диффузионным членом. [c.70] Это условие совпадает с критерием (3.73), полученным при пО мощи метода дискретных возмущений. [c.70] Два условия d V2 и Re 2 являются достаточными для устойчивости в случае линейного уравнения в бесконечной области при постоянном и. Случай, когда и является функцией пространственной переменной, также можно исследовать при помощи данного метода, но это трудно. [c.72] Помимо сведений об устойчивости анализ по фон Нейману дает также информацию о дисперсионных ошибках, которые будут рассмотрены в разд. 3.1.14. [c.73] Упражнение. Повторить предыдущее упражнение для схемы с разностями против потока и найти условие устойчивости, используя на этот раз анализ по фон Нейману. [c.73] Вернуться к основной статье