ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сборка и решение системы уравнений из "Муфты с неметаллическими упругими элементами " Решение задач по методу конечных элементов предусматривает составление и решение системы линейных алгебраических уравнений. Эти уравнения отражают условия механического или теплового равновесия. Их решение позволяет определить искомые значения узловых параметров (перемещений, температур). Формирование матрицы жесткости и решение разрешающей системы линейных алгебраических уравнений при расчете резинотехнических изделий, как уже отмечалось ранее, имеют некоторые особенности, поэтому здесь более подробно рассмотрим лишь решение упругой задачи. [c.45] В созданном программном комплексе имеются возможности для формирования глобальной матрицы как в виде одномерного, так и в виде двухмерного массива. При комплектовании программы из созданных модулей (подпрограмм) чаще использовалась подпрограмма, формирующая одномерный массив. Время счета при этом несколько сокращалось. [c.45] Если на элемент действует распределенная нагрузка, то она раскладывается на составляющие по числу координат. Для каждой составляющей интегрирование ведется раздельно. На рис. 2.3 показана составляющая поверхностной нагрузки, приложенная вдоль стороны с узлами / и / и действующая в направлении оси у. [c.46] При реализации данного алгоритма сначала вычисляется радиус г [1р, т] ,) и определитель матрицы Якоби в точках интегрирования, затем — центробежная сила в таких же точках. С помощью матрицы [Л ] найденная сила распределяется по узловым точкам элемента. Просуммировав силы по всем точкам интегрирования, получим вектор узловых центробежных сил элемента. Для получения глобального вектора узловых сил, как уже отмечалось выще, в каждой узловой точке суммируются центробежные узловые силы по всем смежным к ней элементам. [c.47] Указанные преобразования выполняются для всех узловых точек с заданными граничными условиями в перемещениях и по каждой из степеней свободы. После модификации системы алгебраических уравнений можно приступать к ее рещению. Отметим, что подпрограммы реще-ния систем линейных алгебраических уравнений обычно невелики по объему, но именно они во многом определяют эффективность вычислений и возможности всего комплекса. Поэтому чрезвычайно важно правильно выбрать метод решения системы уравнений с учетом особенностей решаемой задачи. [c.47] Решение системы (2.12) осуществляется в два этапа прямая подстановка дает вектор х , а обратная подстановка используется для получения требуемого решения (б . Метод Холецкого позволяет значительно экономить память ЭВМ. При его реализации в оперативной памяти достаточно хранить половину ленты матрицы жесткости системы (1.1) или половину всей матрицы жесткости системы (1.16). В последнем случае требуется значительный объем машинной памяти, резко увеличивается время счета. Однако эти недостатки можно частично устранить при использовании метода двойного разложения Холецкого [61] для системы (1.16). [c.48] Решая методом Холецкого систему (2.17), находим вектор функции гидростатического давления (5). После этого система (2.14) может быть решена с использованием (2.12). [c.48] Экономия машинной памяти достигается при следующей организации вычислений. [c.49] Из итерационных методов решения наиболее часто используется метод сопряженных градиентов. Этот метод дает точность результатов, аналогичную методу Холецкого, но значительно уступает ему по времени счета. Вычислительная процедура метода сопряженных градиентов выглядит следующим образом. [c.49] Теоретически метод сопряженных градиентов дает точное решение за п итераций, где п — порядок решаемой системы. На практике при решении задач теории упругости и особенно для несжимаемых и слабо-сжимаемых материалов может потребоваться до Зп и более шагов. Возможны и такие случаи, когда решение в принципе довольно трудно получить с требуемой точностью. Можно отметить также, что задачи МКЭ с неравномерными полями сходятся медленнее, и наибольшие ошибки имеют место в областях с концентраторами напряжений. [c.49] Метод сопряженных градиентов имеет, вместе с тем, и свои достоинства, основным из которых является возможность значительно сократить требуемый объем оперативной памяти ЭВМ. Осуществлять сборку и хранение в оперативной памяти машины глобальной матрицы системы МКЭ при использовании этого метода уже нет необходимости, так как вычисление произведения [К] / / в ходе выполнения итераций может производиться с использованием матриц жесткости отдельных элементов. Эти матрицы могут храниться на внешних запоминающих устройствах прямого или последовательного доступа и считываться с них либо могут вычисляться вновь на каждой итерации. Этим, собственно говоря, и обусловлено значительное время счета задач с использованием метода сопряженных градиентов. Можно также, если это позволяет объем задачи, и всю матрицу [К] хранить в оперативной памяти машины. [c.49] Весьма важным при использовании метода сопряженных градиентов является оценка точности решения и назначение критерия окончания счета (назначение требуемого числа итераций). Возникающие при этом сложности побуждают чаще использовать в расчетной практике прямые методы. [c.50] Из рассмотрения (2.20) следует, что маленькие по величине сингулярные числа, свидетельствующие о плохой обусловленности системы, приводят к получению очень больших значений функции гидростатического давления. [c.50] Существуют различные варианты этого метода, но для всех них характерны значительные затраты времени счета и машинной памяти, в первую очередь, за счет введения матриц [Р Р2] и [ 1 2]. Разложение по сингулярным числам является самым надежным способом определения ранга матрицы [Я] и решения систем, элементы которых подвержены ошибкам [53]. Вообще говоря, вопрос о выборе метода решения системы линейных алгебраических уравнений должен решаться с учетом конкретных особенностей задачи. Некоторые оценки эффективности используемых алгоритмов и программ содержатся в гл. 4—6. [c.50] В описываемом вычислительном комплексе предусмотрены подпрограммы решения системы алгебраических уравнений по всем рассмотренным выше методам. [c.50] Вернуться к основной статье