ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инвариантность множителя Последний множитель Якоби из "Теоретическая механика " Равенство (18) показывает, в частности, что интеграл исходной системы уравнений (1), будучи записанным в новых переменных, является интегралом преобразованной системы (17). [c.319] Но мы показали, что Mq — множитель для переменных 1, у2,. .., Ук- А так как F — первый интеграл, то, согласно п. 161, функция MqF также является множителем. [c.320] Функция М носит название последнего множителя или последнего множителя Якоби. [c.321] Таким образом, если для системы (1) известен какой-либо множитель, то ее интегрирование требует нахождения не /с — 1, а лишь к — 2 независимых первых интегралов. Нахождение последнего недостающего интеграла сводится к квадратуре. [c.321] Пример 1 (Качение неоднородного шара по плоскости ). Рассмотрим движение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар считаем неоднородным, его центр масс совпадает с геометрическим центром, движение происходит без скольжения. [c.321] Здесь LOn = P7i + 72 + 7з — проекция вектора о на вертикаль. [c.322] Отсюда и следуют интегралы (32) и (33). В существовании упомяну-тых интегралов можно убедиться и непосредственно, вычислив полные производные по времени от правых частей равенств (31)-(33) в силу уравнений движения (29), (30) и убедившись, что эти производные тождественно равны нулю. [c.323] Интегрирование этого уравнения дает такое выражение для множителя М = сл/f с — произвольная постоянная). Из теории последнего множителя Якоби следует теперь, что интегрирование систем дифференциальных уравнений (29), (30) сводится к квадратурам. [c.324] Упражнение 1. Показать, что для построения общего интеграла уравнений (32), (35) п. 105 помимо трех интегралов (36), (37) и (38) достаточно найти еще только один первый интеграл. [c.324] Вернуться к основной статье