ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости из "Механика сплошных сред Изд.2 " Мы перейдём теперь к выводу полной системы гидродинамических уравнений, которые описывают движение гелия II макроскопическим (феноменологическим) образом. Согласно изложенным выше представлениям речь идёт о составлении уравнений движения, описываюш,егося в каждой точке не одной, как в обычной гидродинамике, а двумя скоростями Ув и у . Оказывается, что искомая система уравнений может быть получена вполне однозначным образом, исходя из одних только требований, налагаемых принципом относительности Галилея и необходимыми законами сохранения (причём используются также свойства движения, выражаемые уравнениями (127.1) и (127,2)). [c.621] Следует иметь в виду, что фактически гелий II теряет свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Это явление критических скоростей до настоящего времени ещё совершенно недостаточно изучено как в экспериментальном, так и в теоретическом отношении, и его природа не ясна. Однако ввиду самого факта существования критических скоростей уравнения гидродинамики гелия II обладают реальным физическим смыслом лишь для не слишком больших скоростей Уд и у . Тем не менее мы проведём сначала вывод этих уравнений, не делая никаких предположений о скоростях у и у , так как при пренебрежении высшими степенями скоростей теряется возможность последовательного вывода уравнений, исходя из законов сохранения. Переход к физически интересному случаю малых скоростей будет произведён в получающихся окончательных уравнениях. [c.621] В системе Кд данный элемент жидкости совершает лишь одно движение — нормальное движение со скоростью у — у. Поэтому все относящиеся к этой системе величины Ед, Од, могут зависеть лишь от разности у — g, а не от каждой из скоростей у , у в отдельности в частности, векторы jQ и должны быть направлены вдоль вектора у — Уд (поток массы ](, равен просто jo = = р (у — Уя)). Таким образом, формулы (129,8) определяют зависимость искомых величин от у при заданном у — у . [c.623] Введя Пмй = рЬце + рЩЩк и ]й = ру о, получим указанную в тексте формулу преобразования для тензора Щ. Остальные формулы получаются аналогичным образом. [c.623] Выражение для имеет вид, являющийся естественным обобщением формулы == обычной гидродинамики. При этом величину р, определённую формулой (129,12), естественно рассматривать как давление жидкости ). [c.624] В полностью покоящейся жидкости определение (129,12) совпадает, разумеется, с обычным определением, так как при этом, по самому определению химического потенциала, лр + Tps — Ео = р. [c.624] Уравнения, однако, сильно упрощаются в физически интересном случае не слишком больших скоростей 2). [c.625] Прежде всего в этом случае можно пренебречь, как уже было указано, зависимостью р и р, от скоростей выражение (129,1) для потока ] представляет собой при этом по существу первые члены разложения этой величины по степеням и у . Разложение по степеням скоростей надо произвести и для остальных термодинамических величин, входящих в уравнения. [c.625] Эти выражения и должны быть подставлены в гидродинамические уравнения, которые после этого будут справедливы с точностью до членов второго порядка по скоростям включительно. [c.625] Граничные условия к гидродинамическим уравнениям сверхтекучей жидкости заключаются в следующем. Прежде всего на всякой (неподвижной) твёрдой поверхности должна обращаться в нуль перпендикулярная к этой поверхности компонента потока массы ]. Для выяснения граничных условий, налагаемых на у , надо вспомнить, что нормальное движение есть в действительности движение газа элементарных тепловых возбуждений в нём. При движении вдоль твёрдой поверхности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что должно быть описано макроскопически как прилипание нормальной части массы жидкости к стенке, подобно тому как это имеет место для обычных вязких жидкостей. Другими словами, на твёрдой поверхности должна обращаться в нуль тангенциальная компонента скорости у . [c.626] При отсутствии теплопередачи между твёрдой стенкой и жидкостью граничное значение перпендикулярной к стенке компоненты v тоже обращается в нуль. Г раничные условия у а, = О и v — О (ось х направлена по нормали к поверхности) эквивалентны условиям — O иу = 0. Другими словами, в этом случае мы получим обычные граничные условия идеальной жидкости для Vg и вязкой жидкости — для v . [c.627] Уравнение же (129,6) остаётся неизменным. [c.628] Это уравнение формально совпадает с уравнением Навье-Стокса для жидкости с плотностью р и вязкостью т] (и соответственно кинематической вязкостью п/Ри). [c.628] Вернуться к основной статье