ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Одномерные бегущие волны из "Механика сплошных сред Изд.2 " При изучении звуковых волн в 63 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой. В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от х (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемещающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и т. п. — вдоль направления её распространения). Поскольку скорость V, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации х с1, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р = р ), и = (р) и т. д.). [c.450] В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения /(лг=ЬсО приближённых уравнений, применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. [c.450] Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью или давлением в волне 1). [c.452] Формулы (94,4) — (94,5) представляют собой искомое общее решение (Б. Раман, 1860). Они определяют неявным образом скорость (а с нею и остальные величины) как функцию от д и т. е. профиль волны в каждый момент времени. Для каждого определённого значения V имеем x=at-[-b, т. е. точка, в которой скорость имеет определённое значение, передвигается в пространстве с постоянной скоростью в этом смысле найденное решение представляет собой бегущую волну. Два знака в (94,5) соответствуют волнам, распространяющимся (относительно газа) в положительном и отрицательном направлениях оси х. [c.452] Движение, описываемое решением (94,4) — (94,5), часто называют простой волной ниже мы будем пользоваться этим термином. Отметим, что изученное в 92 автомодельное движение является частным случаем простой волны, соответствующим равной нулю функции /(г ) в (94,5). [c.452] Таким образом, скорость распространения заданной точки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством Ср скорость звука для плотности, равной равновесной плотности рр, то в местах, где имеется сжатие, р Ро и с Сц в точках разрежения, напротив, р Рд и с с . [c.453] Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем точки сжатия выдвигаются вперёд, а точки разрежения оказываются отставшими (рис. 64, б). В конце концов профиль волны может настолько выгнуться, что кривая р(х) (при заданном ) оказывается неоднозначной — некоторым X соответствует по три различных значения р (рис. 64, в, пунктирная линия). Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности р возникают разрывы. [c.453] В результате чего р оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией. Профиль волны приобретает при этом вид, изображённый на рис. 64, в сплошной линией. Поверхности разрыва возникают, таким образом, на протяжении каждой длины волны. [c.454] Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указано в 82, к диссипации энергии. Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого затухания видно уже непосредственно из рис. 64. При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его вышина всё более уменьшается. Происходит сглаживание профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны. [c.454] Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны. Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются, — волна, в которой плотность монотонно возрастает в направлении распространения на всём её протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы см. задачи к этому параграфу). [c.454] Решение. Если в О, т. е. поршень выдвигается из трубы, то возникает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообще не образуются. Ниже предполагается а 0, т. е. поршень вдвигается в трубу, создавая простую волну сжатия. [c.457] Вернуться к основной статье