ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее уравнение переноса тепла из "Механика сплошных сред Изд.2 " В конце 2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является попрежнему уравнение непрерывности уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье-Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2,6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. [c.226] Слева стоит скорость изменения энергии единицы объёма жидкости, а справа — дивергенция плотности потока энергии. В вязкой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет место изменение полной энергии жидкости в некотором объёме (в 1 сек.) должно быть попрежнему равно полному потоку энергии через границы этого объёма. Однако плотность потока энергии выглядит теперь иным образом. [c.226] Прежде всего помимо потока ру 4 1 связанного с простым переносом массы жидкости при её движении, имеется ещё поТок, связанный с процессами внутреннего трения. Этот второй поток выражается вектором (уд ) с компонентами (см. 16). Этим, однако, не исчерпываются все дополнительные члены в потоке энергии. [c.226] Если температура жидкости не постоянна вдоль её объёма, то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии будет происходить перенос тепла также и посредством так называемой теплопроводности. Под этим подразумевается непосредственный молекулярный перенос энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Он не связан с макроскопическим движением и происходит также и в неподвижной жидкости. [c.226] Постоянная X называется коэффициентом теплопроводности. Она всегда положительна,—это видно уже непосредственно из того, что поток энергии должен быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой температурой, т. е. ц и УГ должны иметь противоположные направления. Коэффициент х является, вообще говоря, функцией температуры и давления. [c.227] Мы будем называть это уравнение общим уравнением переноса тепла. При отсутствии вязкости и теплопроводности его правая сторона обращается в нуль и получается уравнение сохранения энтропии (2,6) идеальной жидкости. [c.228] Первый член здесь представляет собой энергию, диссипируемую в виде тепла благодаря вязкости, а второй есть тепло, приносимое в рассматриваемый объём посредством теплопроводности. [c.228] Считая, что температура жидкости на бесконечности достаточно быстро стремится к постоянному пределу, преобразуем первый интеграл в интеграл по бесконечно удалённой поверхности, на которой Vr=0, так что интеграл тоже исчезает. [c.229] Первый член представляет собой увеличение энтропии благодаря теплопроводности, а остальные два — увеличение энтропии, обусловленное внутренним трением. [c.230] Энтропия может только возрастать, т. е. сумма (49,6) должна быть положительна. С другой стороны, в каждом из членов этой суммы подинтегральное выражение может быть отлично от нуля даже при равенстве нулю двух других интегралов. Поэтому каждый из этих интегралов должен быть всегда положителен. Отсюда следует наряду с известной уже нам положительностью х и y также и положительность второго коэффициента вязкости С. [c.230] Наконец, необходимо уточнить изложенные выше рассуждения ещё и в следующем отношении. Строго говоря, в термодинамически неравновесной системе, каковой является жидкость при наличии в ней градиентов скорости и температуры, обычные определения термодинамических величин теряют смысл и должны быть уточнены. Подразумевавшиеся нами здесь определения заключаются прежде всего в том, что р, S и V определяются попрежнему р и ps есть масса и внутренняя энергия, заключённые в единице объёма, а v есть импульс единицы массы жидкости. Остальные же термодинамические величины определяются затем как те функции от р и е, которыми они являются в состоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия s — s(s, р) уже не будет истинной термодинамической энтропией интеграл J psdV не будет, строго говоря, той величиной, которая должна возрастать со временем. Тем не менее, легко видеть, что при малых градиентах скорости и температуры в принятом нами здесь приближении s совпадает с истинной энтропией. [c.230] Пропорциональный скаляру divv). Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значения. Между тем они должны быть существенно отрицательными, так как равновесное значение 5= (р, е) является максимальным возможным. Поэтому разложение энтропии по степеням малых градиентов может содержать (помимо нулевого члена) лишь члены, начиная со второго порядка. [c.231] Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в 15 (ср. примечание на стр. 66), так как уже наличие градиента скорости является термодинамической неравновесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е, р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. не будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь различие проявляется уже в величинах первого порядка по малому градиенту мы видели, что в нормальной компоненте силы появляется наряду с р ещё и член, пропорциональный (11уу (в несжимаемой жидкости этот член отсутствует и там разница появляется лишь в членах более высокого порядка). [c.231] Таким образом, три коэффициента -г], С, фигурирующие в системе уравнений движения вязкой теплопроводящей жидкости, полностью определяют гидродинамические свойства жидкости в рассматриваемом, всегда применяемом приближении (т. е. при пренебрежении производными высших порядков по координатам от скорости, температуры и т. п.). Введение в уравнения каких-либо дополнительных членов (например, введение в плотность потока массы членов, пропорциональных градиентам плотности или температуры) лишено физического смыла и означало бы в лучшем случае лишь изменение определения основных величин в частности, скорость не совпадала бы с импульсом единицы массы жидкости 1). [c.231] Вернуться к основной статье