ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрирование уравнений Эйлера из "Теоретическая механика " Если это уравнение проинтегрировано, то функции риг найдутся из равенств (17). При этом при извлечении квадратных корней перед радикалами возможны два знака плюс или минус. Конкретный выбор этих знаков делается при помощи уравнений (6). [c.196] Здесь одновременно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки. Решение (20) соответствует полодиям, расположенным на рис. 99 в области I. Для получения решения, соответствующего полодиям, расположенным в области II, надо в формулах (20) величину q оставить без изменения, а у р и г одновременно изменить знаки. [c.197] Направление движения по полодиям показано на рис. 99 стрелками. Если Kq = 2ТС, то полодии вырождаются в две точки, совпадающие с вершинами эллипсоида, лежащими на оси Oz. Они соответствуют стационарным вращениям твердого тела вокруг оси Oz. [c.197] Здесь одновременно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки. Чтобы получить решения уравнений (6), соответствующие полодиям, расположенным в области IV на рис. 99, нужно величину q оставить такой же, как и в (21), ау риг одновременно изменить знаки. [c.197] Если Kq = 2ТА, то полодии вырождаются в точки, лежащие на оси Ох и отвечающие стационарным вращениям тела вокруг оси Ох. [c.197] Рассмотрим еще третий случай, являющийся промежуточным между двумя рассмотренными. [c.198] Решение уравнений (6), соответствующее полодии 3, получается из формул (25), если в них изменить знаки у величин р, г. Решения, соответствующие полодиям 2 и 4, получаются из (25), если изменить знаки соответственно у г и р. [c.199] Поведение гиперболических функций, входящих в формулы (25), показано на рис. 100. [c.199] Так как при b с угол а не превосходит тг/4, то, как нетрудно проверить непосредственным вычислением, справедливы неравенства А В С и 2ТВ 2ТС. Следовательно, мы имеем дело с первым из рассмотренных выше случаев движения Эйлера-Пуансо. [c.200] При получении выписанного решения p t), q t), r t) динамических уравнений Эйлера (6) в формулах (20) взяты верхние знаки, а величина т заменена нат- -К к), что отвечает конкретным начальным условиям в рассматриваемой задаче о движении пластинки. Полодия, соответствующая выписанному решению, лежит на эллипсоиде инерции в области I (рис. 99). [c.200] Отсюда следует, что при t — t пластинка вращается вокруг диагонали RS. [c.200] Для каждого из стационарных вращении uj = onst, и герполодия представляет собой точку, совпадающую с точкой Q. [c.201] Рассмотрим общий случай движения. Пусть А В С. Тогда для движений тела, которым отвечают полодии, расположенные в областях I-IV на рис. 99, величина j = + имеет минимум ji и максимум UJ2. Согласно (26), величина QP также будет иметь минимум Pi и максимум р2. Поэтому герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями с центром в точке Q (рис. 102 и 103). [c.201] Отметим без доказательства, что герполодия не имеет ни точек перегиба, ни точек возврата и всегда обращена вогнутостью в сторону точки (3, в которой вектор кинетического момента Ко пересекает плоскость Пуансо тг. [c.201] В противоположность полодиям (из областей I-IV), которые являются замкнутыми кривыми, герполодии, хотя и состоят из симметричных участков, представляют собой, вообще говоря, незамкнутые кривые. Герполодия поочередно касается окружностей pi = onst и р2 = onst. Моменты касания соответствуют переходу вектора о через главные плоскости эллипсоида инерции. Дуга герполодии аЬ (рис. 102) соответствует четверти дуги полодии. После того как точка Р придет снова в то же положение на эллипсоиде и, следовательно, опишет полную полодию, радиус-вектор QP повернется на угол 4о , где а — угол. [c.201] Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то как полодия, так и гернолодия представляют собой окружности. [c.202] Вернуться к основной статье