ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые решения и их физические свойства из "Инерция тепла " На языке математической физики это значит, что кроме уравнения должны быть заданы входные данные (в нашем случае — коэффициент температуропроводности Uq) и дополнительные или краевые условия, т. е. начальные условия Т х) и граничные условия Г(0, t), Т 1, t). Другими словами, должна быть поставлена соответствующая задача математической физики или сформулирована математическая модель изучаемого явления (в данном случае весьма простая). [c.9] В 1 мы фактически поставили следующую задачу. [c.9] Задача (1.1), (1.4), (1.5) в теории теплопроводности называется первой краевой задачей на отрезке (О, /], а введенная таким образом функция Т х, t) — ее решением (в классическом смысле). [c.10] Если стержень очень длинный и нужно знать температуру лишь в его середине, то из формулировки задачи можно исключить оба граничных условия. Процесс определяется только начальными данными. Соответствующая задача называется задачей Коши. [c.10] Это вторая краевая, задача в полупространства. [c.11] Многие практически важные задачи приводят к более сложным краевым условиям. На одной из границ может быть задан поток тепла, на другой — температура или на одной из границ задается связь между потоком тепла и температурой. Например, если торец излучает как черное тело, то поток тепла на нем равен величине аГ .. [c.11] Если модель по каким-либо причинам является некорректной, то необходимо ее пересматривать. В ряде случаев модели явлений оказываются настолько сложными, что не удается теоретически установить их корректность. В этой ситуации конечным критерием корректности модели и ее адекватности — соответствии изучаемым явлениям — является практика. [c.12] Для большинства задач теории теплопроводности доказана их корректность. Например, для уравнения (1.1) корректность модели доказывается с помош ью относительно простых математических средств. [c.12] Огромный опыт исследования задач теплопроводности, использование их результатов во многих областях науки и техники свидетельствуют об адекватности соответствующих математических моделей, если, разумеется, выполнены предположения, сделанные при их формулировке. [c.12] В нашу задачу не входит знакомство с теорией автомодельных решений (необходимые комментарии будут сделаны по ходу изложения) и разностных методов. Ограничимся формулировкой принципа максимума и теорем сравнения решений. [c.12] Доказывать это утверждение не будем, так как оно имеет наглядный физический смысл. Максимум начального распределения никак не может увеличиться с течением времени — ведь поток тепла переносит энергию от более нагретых к более холодным участкам среды. [c.13] Теорема сравнения для задачи Коши формулируется следующим образом. [c.13] Если взять два одинаковых стержня, таких, что начальная температура в любой точке одного из них не меньше, чем в такой же точке другого, то и в любой момент времени это свойство сохранится. [c.13] Теоремы сравнения имеют непосредственный физиче ский смысл большее тепловое воздействие на фиксированный объект приводит к формированию большего поля температуры в нем Б любой момент времени. [c.14] Точно также формулируются принцип максимума и теоремы сравнения для решений уравнения (1.3) и других уравнений теории теплопроводности. [c.14] Если начальная температура не равна нулю и постоянна То(л )=То, то решение, по принципу суперпозиции, получается добавлением константы Тц в правую часть (1-7). [c.15] Опишем физические свойства решения (1.7), схематически изображенного Н1 рис. 2 в различные моменты времени. [c.15] Вернуться к основной статье