ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Непрерывные среды из "Классическая механика " До сих пор методы Лагранжа и Гамильтона излагались применительно к системам, имеющим конечное число степеней свободы. Целью настоящей главы является распространение этих методов на непрерывные системы, в которых число степеней свободы бесконечно велико. Это нетрудно сделать, если выбрана подходящая функция Лагранжа однако в отношении формы параметров, от которых зависят различные функции, имеется известный элемент неожиданности. [c.117] Для того чтобы понять необходимые видоизменения метода, следует развить соображения, изложенные в предыдущих разделах. Частным случаем непрерывной среды является непрерывное одномерное упругое тело, которое можно рассматривать как предельный случай линейной цепи взаимодействующих материальных точек. Для удобства будем считать, что взаимодействие осуществляется пружинами, связывающими каждую пару соседних материальных точек (см. рис. 7). [c.117] Простая проверка показывает, что уравнения Лагранжа, полученные дифференцированием этой функции обычным путем, совпадают с уравнениями (9.1). [c.118] Таким образом, оказывается, что функцию Лагранжа, относящуюся ко всей данной системе, можно рассматривать как интеграл от другой функции. Эту последнюю функцию называют плотностью функции Лагранжа. [c.119] Конечно, нет гарантии того, что принцип Гамильтона на самом деле будет применим, и единственным критерием его справедливости будет совпадение уравнений движения, выведенных из принятого принципа, с уравнениями, выведенными другим методом. [c.119] Применение таких формул обеспечивает согласованность обозначений и позволяет избежать введения новых символов. [c.119] ИЗ которой можно вывести уравнения, описывающие движение среды. Здесь были приняты во внимание три пространственные (декартовы) координаты и п переменных величин г[( К В общем случае класс этих переменных величин, обычно называемых переменными поля, не ограничивается перемещениями, как в рассмотренной задаче теории упругости. Оказывается, например, что этот метод пригоден для описания электромагнитного поля, в котором имеется не менее четырех переменных поля, соответствующих скалярному потенциалу р и трем компонентам векторного потенциала А. Этот вопрос будет подробнее освещен в гл. XI после рассмотрения в гл. X элементарных основ теории относител ьности. [c.121] Общий результат этих рассуждений заключается в том, что в случае непрерывных сред переменные поля т]( ) играют ту же роль, что и пространственные координаты в случае системы отдельных точек. Пространственные координаты также входят в формулы, но они вместе с переменным времени 1 являются независимыми параметрами. Снова предваряя содержание следующих глав, надо отметить, что это совместное рассмотрение временной и пространственных координат подготавливает путь для введения постулатов теории относительности. [c.122] Этот метод развивается почти так же, как и для случая системы отдельных точек получаются результаты такого же вида, как и ранее, за исключением того, что используется плотность функции Лагранжа и вместо обычных частных производных применяются функциональные производные. [c.122] В определении этого постоянного множителя так, чтобы один или несколько членов функции Лагранжа можно было бы считать слагаемым, соответствующим некоторому виду энергии. В случае системы отдельных точек это осуществляется само собой, если хотя бы один член в уравнениях движения представляет компоненту истинной силы в ньютоновском смысле. [c.124] Второе условие состоит в том, что оси координат должны находиться в покое относительно системы отсчета. Это условие не является серьезным ограничением, так как движущиеся оси редко применяются для исследования движения непрерывных сред, однако его следует отметить ввиду примера, указанного при рассмотрении этого вопроса в гл. V. [c.124] Если выполнены вышеуказанные ограничения и система не диссипативна, то обычно предполагается, что функция Гамильтона и полная энергия тождественны. Случаи, отличные от тех, которые касаются чисто консервативных систем, должны, строго говоря, исследоваться отдельно, как и случай движения материальной точки в электромагнитном поле. Такое отождествление весьма важно, так как значение функции Гамильтона заключается в измерении полной энергии, которая при этом может быть вычислена без определения компонент силы, как в ньютоновской схеме. [c.124] Раеемотрим внутри этого тела елой толщины А с (см. рис. 8) предположим, что плоскости, ограничивающие слой, неподвижны относительно системы отсчета, и, следовательно, перемещения, представляемые переменными поля т], будут соетоять в движении среды через плоскости. Рассмотрим единичные площадки этих плоскостей. Масса среды, входящая в слой через грань х, равна рт], а масса среды, выходящая через вторую грань х + Ах, равна д [т1-р ( т1/ д ) Ах]. Таким образом, общая масса, вошедшая в слой, равна — д(йт]/с х) Ах. [c.127] Здесь второй член проинтегрирован по частям, и предполагается, как прежде, что или равно нулю на границах, или имеются периодические граничные условия. [c.131] Это новое определение не дает чего-либо нового в смысле интеграции, но вместе с тем можно показать, что рассматриваемые выражения совершенно аналогичны скобкам Пуассона, рассмотренным в гл. VIII, и имеют такое же универсальное значение, как и эти скобки. Данное определение касается лишь интегральных величин в нем, в частности, нет величин, соответствующих основным скобкам, которые имелись в случае системы отдельных точек. [c.132] Постулируя а = /г/2л, получим обычный способ квантового описания поведения непрерывной среды. [c.133] КОСТИ путем квантования колебательных движений (введения фононов) и квантования вращательных движений (введения ротонов). [c.135] Процессы диссипации, такие, как диффузия и трение, играют важную роль при изучении непрерывных сред. Как и для систем отдельных точек, такие процессы нелегко включить в аналитическое описание, но метод введения дополнительных систем зеркальных изображений , кратко описанный в гл. V, может быть принят и для непрерывных сред и, по-видимому, открывает интересные возможности ). В том случае когда нужно только облегчить переход к обобщенным координатам в уравнениях движения, может быть использована и диссипативная функция Рэлея. [c.135] Наиболее замечательные результаты применения методов Лагранжа и Гамильтона к непрерывным средам получаются при изучении идеализированных сред, называемых полями. Еще одной особенностью, которая должна быть здесь отмечена, является релятивистская инвариантность. Оказалось, однако, что изложенную здесь теорию можно принять в сущности без изменений. Этому вопросу будет посвящена гл. XI. [c.135] Вернуться к основной статье