ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория преобразований из "Классическая механика " Уравнения (7.2) по форме не отличаются от уравнений (5.16), и на основе только уравнений (7.2) было бы естественно заключить, что д[ представляют собой координаты положения, а — компоненты импульсов. На самом деле, в соответствии с первоначальными определениями этих величин известно, что это не так. [c.87] Этот результат является кажущимся парадоксом, который можно разрешить, только представив себе, что и считаются равноправными переменными. Первоначальный постулат теории Гамильтона о том, что все и должны трактоваться как независимые пере.менные, нужно дополнить тем требованием, что ни одно из этих семейств переменных нельзя считать более существенным, чем другое. [c.87] При рассмотрении этого более общего вида преобразований наша точка зрения несколько отличается от той, которой мы придерживались в гл. III. Там при переходе к обобщенным координатам предполагалось, что новая форма функции L была получена из старой путем непосредственной подстановки формул преобразования. Это является частным случаем (называемым точечным преобразованием) преобразования более общего вида, рассматриваемого нами сейчас. Теперь уже нет прямого соотношения между двумя формами функции Лагранжа. [c.88] Из всех этих рассуждений следует, что видоизмененная форма принципа Гамильтона сохраняется как в первоначальной, так и в преобразованной системе, т. е. [c.88] Отметим как следствие равенства (7.12), что преобразованная функция Гамильтона будет совпадать с первоначальной, если производящая функция не содержит 1 явно. [c.90] Сначала может показаться, что каноническое преобразование устанавливается способом, равносильным выбору произвольной постоянной интегрирования. Более подробное исследование показывает, что это утверждение неверно. Если все р , д[ и р1 указаны предварительно, то произвола в выборе Р нет это есть вполне определенная функция, зависящая от уравнений преобразования то обстоятельство, что эти последние можно вывести из нее, не должно вызывать удивления. Отсюда возникает неверное толкование, так как легче исходить из заданной функции Р и вывести уравнения преобразования, чем осуществить обратный процесс. [c.90] Рассмотрим такое же преобразование, как и прежде. [c.90] Это показывает, какой вид должна иметь производящая функция для того, чтобы порожденное ею преобразование было точечным преобразованием. [c.92] Нетрудно, конечно, установить, что эта функция соответствует движению материальной точки, совершающей прямолинейное простое гармоническое колебание но допустим, что мы этого не знаем. [c.93] Это соотношение на самом деле является уравнением Лагранжа для системы и обычно получается без введения функции Гамильтона. [c.93] Здесь предлагается метод для явного определения производящей функции, из которой можно получить преобразование, позволяющее найти решения уравнений Гамильтона. Искомое преобразование должно быть частным видом ранее рассмотренного, ибо при этом будет требоваться, чтобы все пространственные координаты и импульсы были бы постоянными. [c.95] Можно наложить далее условие дН 1д1 = 0. Тогда Н будет постоянной, которую можно считать равной нулю, так как, если преобразование приводит к преобразованной функции Гамильтона Яо = сопз1 = /1, то5 = 5( — дает Н = 0. [c.96] Уравнение (7.35 ) является уравнением в частных производных первого порядка оно называется уравнением Гамильтона — ЯК Оби. Это уравнение может быть записано в явном виде для любой частной задачи, так как соответствующая функция Гамильтона будет для этой задачи известной функцией от q , и t. Решение уравнения Гамильтона—Якоби представляет известные трудности, но в принципе предполагается возможным. Далее мы ограничим наше исследование лишь разъяснением общего хода решения. [c.96] Таким образом, отождествление q с Oj удовлетворяет всем первоначальным требованиям, предъявленным к искомому преобразованию. [c.97] Хотя это и не помогает в процессе решения, тем не менее отметим одно важное свойство функции 5, которое может быть установлено на основании следующих соображений. [c.98] В соответствии с общим случаем постоянная с (а) может быть отождествлена с самой постоянной а. Таким образом. [c.99] конечно, является обычным решением данной задачи. [c.100] Первоначально производящей функцией была названа функция Р, но в случае бесконечно малого преобразования прикосновения обычно это наименование присваивается функции 5. Таким образом, уравнения (7.56 ) определяют бесконечно малые изменения сопряженных переменных, которые порождаются произвольной производящей функцией О. [c.101] В свете результатов, изложенных в предыдущем разделе, теперь можно несколько иначе описать метод Гамильтона — Якоби. Ранее этот метод рассматривался как средство для решения задач с помощью перехода к новым каноническим уравнениям, в которых все переменные являются интегралами движения. Такая интерпретация была дана Якоби. Другая точка зрения, которую впервые предложил Гамильтон, состоит в том, чтобы рассматривать 5 как функцию, которая преобразует начальные значения пространственных координат д[ при / = 0 в их значения для момента 1. Таким образом, она описывает изменение системы во времени. [c.102] Вернуться к основной статье