ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение уравнений Лагранжа из "Классическая механика " Большие трудности при решении любой задачи механики связаны с выбором такой системы координат, в которой уравнения движения имели бы форму, наиболее удобную для дальнейших исследований. Это в равной степени применимо как к методу Лагранжа, так и к любому другому методу. Как правило, для выбора такой системы координат нет готового пути, и обычным является метод проб и ошибок. Из-за недостатка места мы должны избегать ошибок в выборе системы координат, и поэтому мы будем рассматривать только такие системы координат, которые после предварительного испытания оказались подходящими. [c.37] Необходимо отметить одну особенность, а именно существование во многих случаях циклических (или игнорируемых) координат, допускающее простое получение первых интегралов соответствующих уравнений движения. Это вводит важное усовершенствование, которое будет подробнее рассмотрено в следующей главе в связи с методом Гамильтона. [c.37] Введение вращающейся системы координат часто скорее усложняет, чем упрощает механическую задачу, хотя иногда, как в случае движения тела в земной атмосфере, оно является необходимым. [c.37] Мы не собираемся рассматривать какую-либо частную задачу, касающуюся силы Кориолиса или центробежной силы наша цель —только показать, как просто они получаются из уравнений Лагранжа. Это резко отличается от результатов применения другого, векторного, метода, который в принципе также пригоден, но который часто приводит к практическим трудностям, особенно при определении знака слагаемых. [c.38] И движение исходной системы из двух взаимодействующих материальных точек практически раскладывается на независимые движения двух независимых систем. Такое разбиение обычно упрощает решение задачи. [c.40] Разделение, представляемое соотношением (4.7), происходит как при отсутствии внешней силы, действующей на систему, так и в том случае, когда внешняя сила, отнесенная к единице массы, одинакова для каждой материальной точки. Как отмечалось выше, эти ограничения осуществляются достаточно часто для того, чтобы задачу имело смысл рассматривать в этой форме. [c.40] Это равенство можно истолковать как установление постоян ства момента количества движения относительно оси, проходящей через начало координат и перпендикулярной к координатной плоскости. Данный результат по существу представляет собой второй закон Кеплера для движения планет и вытекает как следствие из предположения о том, что силы являются центральными. [c.41] Дальнейшее исследование требует предположений, касающихся конкретного вида функции (г). [c.42] Проведенные выше рассуждения показывают важность выбора системы координат для обнаружения тех особенностей задачи, которые можно назвать законами сохранения. Хотя эти законы не составляют полного решения задачи, они образуют тем не менее его существенную часть. [c.42] Движение электрона в поле положительно заряженного ядра можно рассматривать как классическую задачу двух тел. Так как внешние силы равны нулю, то выполняются условия предыдущего примера и движение разделяется на две независимые составные части. Введение внешнего магнитного поля изменяет это положение дел, так как внешняя сила, отнесенная к единице массы, не будет уже одинакова для каждой материальной точки и невозможно будет выразить внешние силы как функции только от радиуса-вектора Я центра масс двух материальных точек. [c.42] Однако, принимая во внимание значительно большую величину массы ядра, можно с достаточной точностью считать ядро неподвижным и рассматривать только движение электрона. Тогда задача по существу является задачей о движении одного тела. На основании соображений, изложенных в предыдущей главе, действие магнитного поля на электрон определяется зависящим от скорости членом - е/с) -, входящим в функцию Лагранжа, а кулоновское притяжение ядра выражается через функцию V г) — 2е 1г таким образом. [c.42] Следует заметить, что в действительности было показано только, что возможные состояния движения двух систем одинаковы. Однако можно также доказать, что если стационарное магнитное поле создается постепенно, то система сохраняет свое состояние движения относительно системы координат, вращающейся с соответствующей угловой скоростью. [c.44] Этот результат может быть распространен на многоэлектронную систему, электроны которой движутся в поле центральных сил, вызванных одним ядром. Это имеет широкое применение в микроскопической теории магнитных свойств материи ). [c.44] Дальнейшее рещение требует задания начальных условий, и здесь мы им заниматься не будем. Общее рассмотрение движения известно своей сложностью, но благодаря выщеуказанным соображениям задача была сформулирована с минимальными усилиями. Уравнения (4.33) снова выражают сохранение момента количества движения, хотя рассматриваемые компоненты с физической точки зрения не так важны, как в предыдущих случаях. [c.48] Некоторые физические системы имеют ограниченное движение, состоящее из малых перемещений относительно положения устойчивого равновесия. Примером такого движения является механическое колебание атомной решетки, как это имеет место в кристалле. Это движение сложное, но может быть представлено в виде суммы конечного числа простых гармонических колебаний. В общем случае каждое слагаемое, т. е. простое гармоническое колебание, соответствует движению всей рещетки. Эти простейщие слагаемые называются главными или нормальными колебаниями системы. [c.48] Решение этого характеристического уравнения дает ЗN значений (о , соответствующих ЗУ частотам главных колебаний системы. Эти ЗУ решений системы являются линейно независимыми, и общее движение системы описывается произвольной линейной комбинацией этих решений. Следует подчеркнуть, что отдельные виды движений, как правило, не связываются с индивидуальными материальными точками. В общем случае движение каждой материальной точки включает слагаемое с каждой из главных частот. Некоторые значения могут быть отрицательны тогда соответствующее чисто мнимое со отвечает неустойчивому слагаемому движения. Такие апериодические слагаемые иногда рассматривают как виды колебаний в общем смысле, хотя их существование в действительности исключается начальным предположением, состоящим в том, что система движется около положения устойчивого равновесия. [c.51] Общие особенности задачи определения главных колебаний хорошо объясняются на простой классической модели, которая дает полное представление о поведении линейной трехатомной молекулы. В этой модели материальная точка массы М упруго связана с двумя другими материальными точками, каждая из которых имеет массу т. В каждом случае упругая постоянная равна р, и в положении равновесия точки находятся на одной прямой на одинаковых расстояниях одна от другой при этом рассматривается движение только по прямой (см. рис. 2). [c.52] Таким образом, уравнения движения имеют вид (П2 - Л1). [c.53] как и в разложении Фурье, нет отрицательных частот. Принятое решение имело экспоненциальную форму. Комбинация пары таких решений с равными и противоположными значениями (о дает решение, содержащее только синус или косинус, причем две произвольные постоянные входят в него как произвольные значения амплитуды и фазы. [c.53] Вернуться к основной статье