ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Пуанкаре. Случай вынужденных колебаний из "Теория колебаний " Указанные два случая различаются между собой и формой уравнений движения системы. В первом случае квазилинейная система (13.1) содержит явно время под знаком периодической функции с заданным или известным периодом, совпадающим с периодом порождающего решения (2к в приведенном выше примере). Во втором случае уравнение квазилинейной системы (13.2) явно от времени не зависит. Период возможного в ней периодического решения заранее не известен и может быть, вообще говоря, каким угодно. В частности, он не будет равен периоду порождающего решения, так как, очевидно, будет зависеть от параметра ц. [c.526] Давая а различные значения, получим бесчисленное множество решений системы (13.3) указанного типа. Среди этих решений будут и периодические, если они в системе (13.3) вообще существуют. Они будут соответствовать таким значениям й1, а2,. .., а , при которых функции (13.6) будут периодическими периода 2тг. [c.527] Условия периодичности этого решения будут совпадать с условиями периодичности решения (13.4). [c.528] Это решение при достаточно малом ц будет близким к (13.14 ), обращаясь в последнее, когда ц = 0. [c.530] Как видно из разобранного примера и как это следует из теоремы Пуанкаре, между периодическим решением квазилинейной системы и решением (13.4) в случае, когда Л ть О, имеет место определенное соответствие, выражающееся в том, что первое близко ко второму при достаточно малом ц и непрерывно переходит во второе, когда ц — 0. Можно сказать, что в этом случае принципиального различия между нелинейной системой и получающейся из последней при ц = О линейной нет, так что замена первой второю при достаточно малом ц является вполне допустимой. [c.530] Иначе обстоит дело, когда определитель Л равен нулю. В этом случае указанное выше соответствие между квазилинейной и линеаризованной (порождающей) системами нарушается. Линеаризованная система уже не воспроизводит достаточно точно даже при малом ц все колебательные свойства квазилинейной системы. Последняя является в этом случае существенно нелинейной системой, линеаризация которой, вообще говоря, недопустима. В условии неравенства нулю определителя Л получаем, таким образом, своего рода критерий допустимости линеаризации квазилинейных систем. [c.530] Предположим, что определитель Л равен нулю, и пусть ранг этого определителя будет т. Тогда из уравнений (13.7) можно найти т величин а ,. .., а , выразив их через ц и остальные (д - т) величин а .,. 1,. .., а , которые могут принимать произвольные значения. Подставив найденные таким образом а ,. .., в (13.6), получим периодические решения уравнений (13.3), зависящие от одного или нескольких произвольных параметров. Такой случай будет, например, иметь место, когда система (13.3) имеет первый интеграл или когда уже в порождающее решение входят произвольные параметры. [c.531] Вернуться к основной статье