ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Разложение возмущающей силы в ряд Фурье из "Теория колебаний " Одним из таких приемов, особенно широко используемым в машиностроении, является замена данной сложной системы другой, более простой, с другим распределением масс и жесткостей, ш близкой к данной в том смысле, что ее расчет приводит к значениям искомых величин, не слишком сильно отличающимся от действительных для данной системы. Такая упрощенная система носит название приведенной или эквивалентной приведенной с темы. Существуют специальные правила приведения сплошных упругих систем, которые рассматриваются в разделах, относящихся к частным случаям колебаний упругих тел. Сейчас ограничимся описанием только одного из возможных его результатов замены данной системы с бесконечным числом степеней свободы эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы. Именда этот результат приведения или упрощения сложной системы кладется обычно в основу первоначальных исследований теории колебаний. На нем построена первая часть настоящей книги — о колебаниях систем с конечным числом степеней свободы. [c.100] Рассмотрим несколько простых примеров такого приведения. Груз, подвешенный к неподвижной точке А на пружине АВ (рис. 23), если учитывать распределенную массу пружины, представляет систему с бесконечным числом степеней свободы. Но когда масса груза значительно превышает массу пружины, при нахождении наименьшей (основной) частоты колебаний без большой погрешности можно пренебречь массой пружины, сохраняя все ее свойства упругости. Если, кроме того, предположить, что груз совершает прямолинейные (вертикальные) колебания, то рассматриваемая система обращается в приведенную систему с одной степенью свободы. Для определения движения такой системы достаточно найти только одну величину в функции времени — именно, отклонение х центра тяжести груза от положения равновесия О. [c.101] При определении основной (наименьшей) частоты крутильных колебаний диска, прикрепленного к концу В круглого стержня АВ (рис. 24), другой конец которого закреплен неподвижно в точке А, можно пренебречь моментом инерции стержня, если он достаточно мал по сравнению с моментом инерции диска. Тогда заданная система с бесконечным числом степеней свободы приведется к простой системе с одной степенью свободы. [c.101] от положения равновесия системы. Этими величинами бд дут определяться прогибы отдельных масс при колебаниях, вместе с ними и форма упругой линии балки в наибольшем ее а клонении. Здесь мы имеем случай замены упругой системы экв1 валентной системой с четырьмя степенями свободы. [c.102] Таким образом, кинетическая энергия малых колебаний систем около положения равновесия может быть представлена положи тельно-определенной квадратичной формой от обобщенных ско ростей с постоянными коэффициентами. [c.104] В положении равновесия она имеет стационарное значение, та как здесь равны нулю частные производные от нее по всем обо щенным координатам. [c.104] Составление выражения потенциальной энергии в виде ратичной формы от обобщенных координат для системы с кое ным числом степеней свободы иногда затруднительно. В таки случаях оказываются полезными другие выражения потенциаль -ной энергии. [c.104] Уравнения (3.8) представляют собой выражения обобщенного закона Гука для системы с п степенями свободы. Их также можно рассматривать как условия равновесия между силами Р. и восстанавливающими силами Q , записанные в так называемой обратной форме. [c.105] В этом выражении потенциальная энергия представлена квадратичной формой обобщенных сил P . [c.105] Указанные свойства коэффициентов и а известны из курД сопротивления материалов и потому приведены здесь без дока тельства. [c.106] Это — система п линейных, однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно координат д ,. .., с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений определяет малые линейные колебания системы около состояния устойчивого равновесия. [c.107] Приведением одной из квадратичных форм — кинетической или потенциальной энергии — к каноническому виду достигается значительное упрощение как основной системы (3.13), так и других, связанных с ней уравнений общей теории колебаний. [c.107] Это — прямая форма уравнений малых колебаний. [c.107] Это — обратная форма уравнений колебаний. [c.107] Пример 1. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ двойного МАЯТНИКА ОКОЛО ВЕРТИКАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ устойчивого РАВНОВЕСИЯ (рис. 26). Двойной маятник СОСТОИТ из двух однородных стержней одинаковой длины АВ = ВС = 21 и одного веса = 2 = Р, связанных шарниром В. Маятник совершает малые колебания в вертикальной плоскости около равновесного положения Ау, причем стержень АВ вращается вокруг оси А, а стержень ВС — вокруг шарнира В. [c.109] Приведенные ниже формулы и уравнения без труда обобщаются на случай п дисков. [c.110] Принятая в этих уравнениях система координат не является Ш1 единственной, ни самой удобной в данном случае. [c.111] Одно из преимуществ координат заключается в том, чтоА этих координатах может быть составлена не только прямая, н Щ обратная система уравнений, чего нельзя сделать, пользуясь координатами 0,, причем это составление не потребует обраще матриц, а может быть выполнено более простыми средствами. [c.112] Вернуться к основной статье