ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы математического программирования из "Оптимальный синтез устройств СВЧ с Т-волнами " Вектор g называьтся градиентом функции g(v) в точке vo. Функцию g(v) будем называть гладкой в V, если в любой точке veV оиа непрерывно дифференцируемая. [c.145] Вектор g (v) называется субградиентом (обобщенным градиентом) выпуклой функции g(v) в точке Vo, если для любого veV g(v)—g(vo) g (vo)Av. Если функция g(v)—гладкая, обобщенный градиент совпадает с градиентом. Если g(v)—негладкая, то в Vo может существовать множество субградиентов. [c.145] В зависимости от вида функций я( ), /о (у), /,(у) могут быть выделены различные классы задач математического программирования линейное, квадратичное, геометрическое, выпуклое, целочисленное и т. д. [96, 221, 223]. Наибольшее применение при оптимизации устройств СВЧ находят методы выпуклого программирования. Последние развиты для минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах. [c.146] Рассмотрим методы выпуклого программирования более подробно. При этом будем полагать, что функции, входящие в (5.26), гладкие и вычисляются точно. Ограничимся рассмотрением детерминированных методов решения (5.26), в которых для нахождения решения (5.26) используется однозначно определенная последовательность логических и арифметических операций. [c.146] Алгоритм минимизации однозначно определяется заданием правил вычисления рн, а. [c.146] Задачи безусловной оптимизации, соответствующие случаю отсутствия ограничений в (5.26), образуют простой, но важный класс задач математического программирования. Помимо того, что такие задачи имеют широкое распространение, к ним с помощью различных способов могут сводиться более сложные задачи отыскания экстремумов на ограниченных множествах. Методы безусловной оптимизации разработаны достаточно хорошо, и для всех типов минимизируемых функций имеются удовлетворительные алгоритмы [96, 216]. [c.146] Методы минимизации диффё5енцируемых функций могут быть разделены на три группы группа методов нулевого порядка, требующих вычисления только значе адй функции g (v) группа методов первого порядка (градиентн ), требующих вычисления g(v) и g (v) группа методов второго h более высокого порядков требующих вычисления g(v), g (v), H(v), и т. д. Метод минимизации на практике должен выбираться с учетом информации. о-сложности рельефа целевой функции g (v), трудоемкости ее вычисления, возможности определения частных производных функций, времени подготовки оптимизационной задачи к решению на ЭВМ. [c.147] В основу алгоритмов минимизации гладких функций на ограниченных множествах положены следующие идеи. Общая задача математического программирования может быть преобразована в задачу либо последовательность задач безусловной оптимизации. Такие алгоритмы основаны на использовании метода центров [225], замены независимых переменных [211], применении различных вариантов штрафных функций и модифицированных функций Лагранжа [215, 217, 218]. Можно отметить также метод [225], позволяющий перейти к безусловной минимизации функции максимума. Задача условной оптимизации может быть аппроксимирована последовательностью задач линейного или квадратичного программирования. К этой группе относятся методы возможных направлений [228], линеаризации [215], линейной аппроксимации [96], проектирования [218]. [c.148] Множество V изменения вектора V может быть аппроксимировано множеством более простой структуры, в результате чего направление рь в итерационном процессе (5.32) находится после минимизации g v) на множестве, заданном линейными ограничениями. К этой группе относится метод отсекающей гиперплоско- сти [218] и его обобщения. [c.148] Функция g v) может аппроксимироваться линейной или квадратичной функцией. После этого направление р определяется в результате минимизации простой функции на множестве V (методы условного градиента и Ньютона [218] ). [c.148] В настоящее время трудно выделить какую-либо группу методов условной оптимизации, превосходящих по всем показателям методы других групп. Весьма популярными являются методы первой и второй групп. Особенно перспективны методы с модифицированной функцией Лагранжа. Результаты экспериментального тестирования и сравнение методов условной оптимизации имеются в [96, 216]. [c.148] Во многих случаях можно построить упрощенную математическую модель оптимизируемого устройства СВЧ либо определить устройство (прототип), имеющее структуру, эквивалентную в определенном смысле структуре оптимизируемого устройства. Это используется для определения начального приближения при оптимизации. В качестве Vq при этом задается вектор варьируемых параметров, найденный в результате оптимизации иа основе упрощенной модели, либо значение Vo, полученное по определенным соотношениям из результатов оптимизации прототипа. Прл удачном выборе прототлпа значение Vq может быть весьма близким к получаемому прн точном решении задачи параметрической оптимизации устройства СВЧ. По этой причине иа практике получили достаточно широкое распространение методы синтеза устройств, основанные иа непосредственном использовании техники прототипов [8, 9]. [c.149] Подробная библиография по методам поиска глобальных экстремумов имеется в [22 /]. Отметим только, что вследствие чрезвычайной трудоемкости поиска глобально оптимальных решений эти методы можно использовать практически лишь при небольшой размерности (/г 5) вектора варьируемых параметров. [c.149] Вернуться к основной статье