ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания по толщине тонких пьезоэлектрических пластин из "Пьезоэлектрические резонаторы на объемных и поверхностных акустических волнах " При этом для тензорных величин здесь использованы несокращенные индексные обозначения. [c.50] Система четырех дифференциальных уравнений (2.78) описывает колебания пьезоэлектрических пластин. [c.51] В уравнении (2.80) множитель опущен, поскольку смещение и потенциал зависят от времени одинаковым образом. [c.51] Выражение (2.92) представляет собой систему трансцендентных уравнений, характеризующих резонансные частоты колебаний по толщине рассматриваемого резонатора в форме бесконечной плоской пластины. Равенству (2.92) удовлетворяет бесконечное число корней у/, и резонансных частот ША, причем для каждого корня из (2.91) можно найти отношение амплитуд Bjp для f o = 0. [c.52] Приведенное решение (2.89) представляет множество нечетных решений системы (2.80). Колебания, соответствующие четным решениям, электрически возбудить невозможно, поэтому далее они рассматриваться не будут. [c.53] В случае когда мы пренебрегаем пьезоэлектрическим эффектом, коэффициент делается независимым, три решения дифференциальных уравнений становятся не связанными с граничными условиями и соответствуют решению, приведенному в работе [81]. Резонансные частоты/, полученные из (2.94), являются кратными между собой. [c.53] Если благодаря симметрии кристалла ещ = О, выражение (2.96) упрощается и соответствующее трансцендентное уравнение сводится к (2.94). [c.53] Точное решение системы (2.98) для пластины произвольной симметрии до настоящего времени не было найдено. Тем не менее предпринимались попытки отыскать методы, с помощью которых можно было бы приблизиться к такому решению. Один из методов, которому в 60—70-е годы уделялось значительное внимание, исходит из выражения результирующего колебания пьезоэлектрической пластины в виде суммы колебаний, для которых предполагается возникновение более простых (например, двумерных) стоячих волн. Поэтому в данном разделе остановимся более подробно на колебаниях, при которых возникают двумерные стоячие волны. [c.54] Здесь f — волновое число, соответствующее распространению колебания вдоль оси Хз. [c.55] Как следует из (2.105), пьезоэлектрические константы обусловливают связь квазистатического электрического решения задачи с динамическим решением. Рассматриваемый тип колебаний пластины характеризуется двумя направлениями распространения волн, находящимися в плоскости, параллельной осям Х и Л з, для которых можио определить две фазовые скорости распространения. Следствием упомянутой связи между квазистатиче-ским и динамическим решениями является тот факт, что рассматриваемые колебания характеризуются тремя волновыми числами. [c.56] Выражение (2.110) представляет трансцендентное уравнение, корни которого с учетом соотношений (2.105) и (2.109) позволяют определить зависимость между круговой частотой ш и волновым числом . [c.57] Приведенное решение колебаний тонкой бесконечной пьезоэлектрической пластины, характеризуемых возникновением двумерных стоячих волн, приводит, как показал анализ, к бесконечному числу систем из трех уравнений, причем в каждой тройке уравнений (для каждого Л) решения взаимно связаны трансцендентным уравнением, определяющим дисперсионное соотношение. Проблема двумерных стоячих волн в тонких как чисто упругих, так и пьезоэлектрических бесконечных пластинах изучалась ранее Тирсте-ном (30, 31], который показал, что решение задачи распространения двумерных стоячих волн полностью идентично решению задачи распространения волн в направлении оси в тонкой бесконечно широкой и бесконечно длинной пластине. В случае когда волны, распространяющиеся в направлении оси Хг, имеют бесконечно большую длину волны, величина в выражениях (2.102) становится равной нулю, а колебания пластины переходят в две взаимно не связанные системы колебаний по толщине . [c.58] Всего лишь две системы, так как в разд. 2.3.2 предполагаем иг = 0. [c.58] Можно при этом положить, что частотный спектр, вычисленный для колебаний по толщине в разд. 2.3.1, является первым приближением частотного спектра колебаний, рассмотренных в данном разделе. [c.59] Анализ колебаний тонкой бесконечной пьезоэлектрической пластины, приведенный в данном разделе, можно использовать для изучения двумерных стоячих волк в пластине в виде узкой тонкой и бесконечно длинной ленты ([30], с, 123). [c.59] В следующем разделе анализ будет расширен на случай вынужденных колебаний ограниченной пьезоэлектрической пластины. [c.59] Тонкая пьезоэлектрическая пластина, ограниченная в направлении осн Хг и бесконечная в направлении осн Хг, в прямоугольной системе координат. [c.59] Можно сказать, что граничные условия (2.114) прн 1 = а удовлетворяют одновременно условиям возникновения колебаний по толщине, а также всем решениям, описывающим двумерные стоячие волны. [c.60] Чтобы описать колебания ограниченной пластины (рис. 2.11), необходимо рассмотреть решение, состоящее из суммы отдельных решений, приведенных выше. При этом коэффициенты, характеризующие вклад каждого из решений в общее решение, пока не определены. Результирующее решение должно удовлетворять граничным условиям при Хз = /. [c.60] Вычислив амплитуды 0 и способом, описанным в разд. 2.3.2, можно из приведенных выше равенств определить дисперсионные кривые, которые имеют в обшем случае бесконечное число ветвей. Если рассматривать зависимость ш от волнового числа лишь в некотором диапазоне, то достаточно принять во внимание только ограниченное число ветвей дисперсионных кривых остальные ветви, которые мало влияют на частотный спектр рассматриваемой пластины (в данном диапазоне зависимости ш от ), можно ие учитывать. [c.61] Вернуться к основной статье